第四讲函数.ppt

? 1. 指数函数?2. 对数函数? 3. 三角函数和双曲函数?4. 乘幂与幂函数?5. 反三角函数与反双曲函数§ 初等函数一. 指数函数?????????????,2,1,02)kkye ee z xz? Arg( )1() sin (cos )( :yiyeezf iyxz xz?????如下的指数函数定义复变数 0?? ze . 2 )1(4 1?????????????? iiee ??和计算例1 .4 ,4 1???yx解: ).1(2 2)4 sin 4 (cos 4 1 4 1ieie?????? ,0 ???? sin 2 cos 0iie??????????????????????????原式) sin (cos yiyee xz?? 0,)3(??? zeCz ,01?y )当(.)( )()4( zz zee ezf???且处处解析, 在复平面上处处连续, xzeezf??)(,0)2(?xRyyiye iy???, sin cos ) sin (cos yiyee xz??)2,1(???j iyxz jjj 证明:设 2121 zzeee zz ??:)5(加法定理) sin (cos ) sin (cos 22 11 2 1yiyeyiye x x????左边 21zze ?? 212 1zzz zee e ??类似地, )] sin cos cos (sin sin sin cos [cos 2121 2121 21yyyyi yyyye xx?????)] sin( ) [cos( 21 21 21yyiyye xx?????)6( ZkikTzfTzf????,2 ),()(? ikzikzeeeikzf ??? 2 2)2(????证明: 思考: ?复指数函数呢? 实指数函数有无周期性)2 sin 2 (cos ??kike z??.2 )(为任意整数 kikT zfe z?????二. 对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数。即, Lnz w zfw zze w????记作称为对数函数的函数把满足, )()0( ?i rez ivuw???令)()2( lnZkkir Lnz w????????ziz Lnz Arg ?? ln 或 1. 对数函数的定义?i ivu re e??)(2, lnZkkvru????????kvre u2,????.,2zie z求设?例2 )2(i Ln z?解: )(22 2 lnZkki????????????)()2(|2| lnZki iArg i??? ziz Lnz Arg ?? ln ; 1 的无穷多值函数是) (z Lnz w?zziz ln arg ln)2( 记作??)(2 lnZkkiz Lnz????分支 ziz Lnz Arg ?? ln.,的主值称为的一单值函数为 Lnz Lnz 2. 对数函数的性质)1(|1| ln)1(????? iArg Ln 解: 例3 .)1(2及它们的主值和求? Ln Ln2|2| ln2 iArg Ln??)(22 lnZkik????)()12(Zkik???? 2 ln)1 arg( |1| ln)1 ln(?????ixzxz ln ln,0)3(???当 2 ln?i?? 2 arg |2| lni??