同济六版高等数学上册总结.pdf

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达法则
定理 1 设函数 f (x) 、 F(x)满足下列条件：
（1） lim f (x)  0 ， lim F(x)  0 ；
xx xx
0 0
（2） f (x) 与 F(x)在 x 的某一去心邻域内可导，且 F(x)  0 ；
0
f (x) f (x) f (x)
（3） lim 存在（或为无穷大），则lim  lim
xx F (x) xx F(x) xx F(x)
0 0 0
f (x) f (x) f (x)
这个定理说明：当 lim 存在时， lim 也存在且等于 lim ；当
xx F (x) xx F(x) xx F (x)
0 0 0
f (x) f (x)
lim 为无穷大时， lim 也是无穷大．
xx F (x) xx F(x)
0 0
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值
的方法称为洛必达（ LH ospital）法则.
ex 1
例 1 计算极限 lim .
x0 x
解 该极限属于“ 0 ”型不定式，于是由洛必达法则，得
0
ex 1 ex
lim  lim 1.
x0 x x0 1
sin ax
例 2 计算极限 lim ．
x0 sin bx
解 该极限属于“ 0 ”型不定式，于是由洛必达法则，得
0
sin ax a cos ax a
lim  lim  ．
x0 sin bx x0 bcosbx b注 若 f (x), g(x) 仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即
f (x) f (x) f (x)
lim  lim  lim 
xa g(x) xa g(x) xa g(x)
二、  型未定式

定理 2 设函数 f (x) 、 F(x)满足下列条件：
（1） lim f (x)   ， lim F(x)   ；
xx xx
0 0
（2） f (x) 与 F(x)在 x 的某一去心邻域内可导，且 F(x)  0 ；
0
f (x)
（ ） 存在（或为无穷大），则 f (x) f (x)
3 lim lim  lim