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希尔伯特几何公理
佛山石门中学 高二（ 2） 邓乐涛
一、符号及一些说明
有三 不同的 象：点，直 ，平面
点用 A,B,C,D⋯⋯来表示；
直 用 a,b,c,d⋯⋯来表示；
面 ABC 且不经过点 A,B,C 的直
线 a，若 a 交于线段 AB 的一点，则它必定交于线段 AC 或 CB 的一点（如图）
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以上。
接下来定义射线
先定义同侧：设 A,A ’,O,B是直线 a 上的四点，而 O 在 A,B 之间，但不在 A,A’之间，则 A 和 A’称为在 a 上点 O 的同侧，而 A,B 两点称为异侧。
那么射线就定义为直线 a 上点 O 同侧的点的全体。 比如与上图关于点 O 与 B 同侧的射线我们记为 OB（虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）
公理 III 合同公理
本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。
III 1：对于线段 AB 和一点 A’，恒有一点 B’，使得线段 AB 与线段 A’B相’等，记为
因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同：
III 2：若 且 ，则 ；
（根据 1,2，我们才能得到线段 AB 与自己相等，才能得到 与 等
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价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等” 。总而言之根
据 1,2 我们才能得到线段相等的“反身性” ，“对称性”，和“传递性”，这才说明这是一个等价关系。）
III 3：线段 AB ，BC 在同一直线 a 上，且无公共点；线段 A’B’，B’C’在同一直线 a’
上，且也无公共点。如果 ,则
这条公理还要求线段能够相加，可以定义 AB+BC=AC （其中 A,B,C 共线）
相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。
我们先定义角的概念：
对于不同一直线的三点 O,A,B，射线 OA，和射线 OB 的全体我们称为角，记为 。
O 称为 的顶点，射线 OA，和射线 OB 称为 的边。
同样与 A,B 的次序无关。
根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考虑的范围内。
III 4：对于 ，和一条射线 O’A，’在射线 O’A所’在的一个平面内，有且只有一
条射线 O’B，使得 与 相等，记为 。而且有 。
如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的
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然后先定 三角形： 段 AB,BC,CA 所构成的 形， 。
III 5：若 与 ，有下列等式
有
条公理可以理解 三角形全等（ SAS），事 上 SAS 个公理的直接推 。
公理 IV 平行公理
条公理 得很 白，但在 史上很重要⋯⋯
先定 平行：
于同一平面上的两条直 a 和 b，a 与 b 无公共点， 称 a 与 b 平行， .
IV （欧几里得平行公理）： a 是任意一条直 ， A 是 a 外的任意一点，在 a 和 A
所决定的平面上，至多有一条直 b，使得 且 。
根据 个公理，我 可以得到平行 内 角，同位角相等；反之也成立。
公理 V 公理
V 1（阿基米德原理）： 于 段 AB,CD ， 必定存在一个数 n，使得沿着射 AB ，自 A 作首尾相 的 n 个 段 CD，必将越 B 点。
在 里必 下数的阿基米德原理： 任意给定两个数 a,b ，必存在正整数
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