高中数学浅谈圆锥曲线中的张角问题专题辅导doc.docx

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高中数学浅谈圆锥曲线中的张角问题
沈春祥
圆锥曲线中的张角问题〔特别是与焦半径相关的问题〕是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下面从几个方面谈一谈与焦半径相关的张角问题的解题策略。
一、曲线定义法
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高中数学浅谈圆锥曲线中的张角问题
沈春祥
圆锥曲线中的张角问题〔特别是与焦半径相关的问题〕是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下面从几个方面谈一谈与焦半径相关的张角问题的解题策略。
一、曲线定义法
我们可以利用椭圆的定义〔〕或双曲线的定义解求得所需结果。
例1. 椭圆上一点P与两个焦点的张角∠，求证：△F1PF2的面积为。
图1
证明：
①式平方与②式作差得：
所以
二、特征图象法
利用椭圆或双曲线中a、b、c构成的特征三角形解决问题，有时学生感到比拟直观、好用。
1. 如图2，椭圆中，特征△OF2B2，其三边长分别为a、b、c，〔e(0，1)〕。
图2
2. 如图3，双曲线中，特征，其三边长分别为a、b、c，
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〔e〕。利用这种方法我们可以解决下面这类问题。
图3
例2. 双曲线的离心率是2，求它的两条渐近线的夹角。
解：，
所以
所以夹角为。
三、正弦定理法
如果中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。
例3. 椭圆上一点P及两焦点，假设，，试求椭圆的离心率。
图4
解：由正弦定理有，
即
所以
四、余弦定理法
如果在中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。
例4. 双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，∠，且△的面积为，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。
图5
解：设双曲线的方程为，，。在△PF1F2中，由余弦定理，得
即
又因为
所以
所以
所以
即
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又因为
所以
所以所求双曲线方程为。
五、到角公式法
有时角不是特殊角，用余弦定理比拟复杂，可以考虑利用直线的角的公式来解。
例5. 假设椭圆上有一点Q，到长轴两端点A、B所成的张角∠AQB＝120°，试求离心率e的取值范围。
图6
解：因为椭圆是关于x轴对称的图形，所以不妨设点Q在x轴上方，
即
那么，
所以
所以
因为
所以。
六、曲线交轨法
通过几何图形，找出适合题意的途径解决问题。
例6. 椭圆的焦点为，