实对称矩阵的相似对角化.ppt

实对称矩阵的相似对角化
第1页，共40页，编辑于2022年，星期六
一、对称矩阵的特征值和特征向量
希望找
使
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则
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第19页，共40页，编辑于2022年，星期六
例 设A是3阶实对称矩阵，特征值为1 (二重)和2，
且已知 A属于2的一个特征向量 。求A。
解 设 是A属于1的特征向量，
则 ，即
解出它的一组基础解系为
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第20页，共40页，编辑于2022年，星期六
可证， 恰为A属于1的两个线性无关的特征向
量。令 ，则 线性无
关。取
则
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由此得
（另法）把 正交化、单位化，得
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令
则 Q是正交矩阵且
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由此得
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小结：
1．特征值与特征向量
计算特征值与特征向量，特征值与特征向量的性质
2．矩阵的对角化
可对角化的判别，对角化的进行
3．实对称矩阵用正交矩阵对角化
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例 设 n阶方阵 A有特征值 。
(1) 可否对角化？
(2) 求 。
解 (1) 设 是 A的特征值，则 是 的
特征值，由此知： 有特征值 。
所以， 可对角化。
(2) 由(1)得
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例 设A是n阶实对称矩阵且 ，证明：存
在n阶正交矩阵Q，使
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证明 设 是A的特征值，对应特征向量为X ，
则 。由此得
因 ，故 。由此得
或
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设 是 A对应 0的极大标准正交特征向量
组， 是A对应1的极大标准正交特征向量组。
因 A是实对称矩阵，可对角化，所以 A应有n个标准
正交的特征向量。于是， 。
令 ，则 Q是正交矩阵且
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第29页，共40页，编辑于2022年，星期六
这就要求A的特征值2的几何重数
等于其代数重数2，亦即要求齐次方程组
的基础解系包含两个解向量。
例 设矩阵
已知 A有3个线性无关的特征向量，2是A的二重特征
值。试求可逆矩阵P，使