D8_2二重积分的计算(极坐标).ppt

第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法( 2) 第八章复习:一、利用直角坐标计算二重积分在D上连续时, ),(yxf 当被积函数???????bxa xyxD )()(: 21???? Dyxyxfdd),( yyxf xxd),( )()( 21????? baxd 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X –型区域则)( 1xy??)( 2xy??xb o yDa x 若D为 Y –型区域???????dyc yxyD )()(: 21?? y)( 1yx??)( 2yx??x do c yxyxf yyd),( )()( 21???? dcyd ??? Dyxyxfdd),( 则机动目录上页下页返回结束 x yo kkkrr?????二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积可以近似地 k??),,2,1(nk k???? k??? kk?????? krr? k??及射线?=常数, 分划区域 D 为kr kr? k?? kkr??机动目录上页下页返回结束看作是一个小长方形的面积 kkkkkkrr???? sin , cos ??对应有在 k??),,( kk??内取点?? Dyxf?d),(?ddrr 即??? Drrf) sin , cos (???dr rd ?dr?d 机动目录上页下页返回结束?后先次序 r:)1(注.)( , ;,,:)2( 22 22域或其一部分环含圆有积分区域的边界曲线含被积函数含有适用范围 yx y xx yyx?? kkkkkkk nkrrrrf??????????) sin , cos ( lim 1 0kk nk kf????????),( lim 1 0 ??Do )( 1???r )( 2???r)( 1???r??o )( 2???r?)()( 21d) sin , cos ( ??????rrrrf 设, )()(: 21??????????????rD 则?? Drrrrf???dd) sin , cos (?????d 特别, 对???????????20 )(0: rD ?? Drrrrf???dd) sin , cos (?)(0d) sin , cos ( ????rrrrf???? 20d )(???ro D 机动目录上页下页返回结束若 f ≡1 则可求得 D 的面积????d)(2 1 20 2????? D??d 思考:下列各图中域 D分别与 x , y 轴相切于原点,试答: ;0)1(????)(???rDo yx )(???rDo yx 问?的变化范围是什么? (1) (2)22 )2( ??????机动目录上页下页返回结束用极坐标表示下列区域 xyx x2 ,20???? 22 , cos 20?????????ar yyxy42 22??? ab 2a 2 4 y=x y=2x 2 ????????0 , sin 4 sin 2r 2222byxa??? ax yx2 22????20 ,????bra2 arctan 4 , cos 20??????? r 机动目录上页下页返回结束1??yx 1 22??yx 解??????? sin cos ry rx ?? Ddxdy yxf),( .) sin , cos ( 20 1 cos sin 1?????????? rdr rrfd 机动目录上页下页返回结束例 ,dd 22 ????D yxyxe 其中.: 222ayxD??解:在极坐标系下,20 0:????????? arD 原式??? Drer ard 0 2??are 0 22 12??????????)1( 2ae ???? 2xe ?的原函数不是初等函数,故本题无法用直角 2re ??ddrr???? 20d 由于故坐标计算. 机动目录上页下页返回结束注:利用例 2可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式 2 d 0 2??????xe x 事实上, 当 D 为R 2 时, ????D yxyxedd 22?????????????yexe yxdd 2220d4 2???????????xe x 利用例 2的结果, 得)1( lim d4 2 220 aa xexe ???????????????????①故①式成立. 机动目录上页下页返回结束