利用空间向量证明平行关系.doc

1 数学·选修 2-1 D C B A D C B A 利用空间向量证明平行关系主讲教师: 巫宇霞【知识概述】一、平面的法向量(1 )所谓平面的法向量,就是指所在的直线与平面垂直的向量,显然一个平面的法向量也有无数个,它们是共线向量.(2) 在空间中, 给定一个点 A 和一个向量 a, 那么以向量 a 为法向量且经过点 A 的平面是唯一确定的. 二、利用空间向量证明平行关系设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b ,平面α,β的法向量分别为 u,v ,则线线平行 l //m? a //b? a=kb; 线面平行 l //α? a⊥u? a·u=0; 面面平行α//β? u //v? u=kv. 【学前诊断】 1.[ 难度]中已知正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E、F 分别在 DB 、D 1C上,且 DE =D 1F= 23 a,其中 a 为正方体棱长. 求证: EF ∥平面 BB 1C 1C. 2.[ 难度]中如图,在长方体 1111DCBA ABCD ?中, AB =4 , BC =3 , = 2. 求证:平面 1 1 ABC // 平面 1 ACD .2 数学·选修 2-1 3.[ 难度]中如图, 在直四棱柱 ABCD -A1 B1 C1 D1 中, 底面 ABC D 为等腰梯形, AB // CD , AB =4, BC = CD =2, AA 1 =2, E、 E1 、F 分别是棱 AD 、 AA 1 、 AB 的中点. 证明:直线 EE 1 // 平面 FCC 1 . 【经典例题】例 1. 如图, 已知直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中,△ ABC 为等腰直角三角形,∠ BAC = 90°, 且 AB = AA 1,D、E、F 分别为 B 1A、C 1C、 BC 的中点. 求证: DE ∥平面 ABC . 例2. 如图,平面 PAC ⊥平面 ABC ,△ ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E,F,O 分别是 PA , PB , AC 的中点, AC = 16, PA = PC = 10. 设G是 OC 的中点, 证明 FG ∥平面 BOE .例3. 如图, 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面交于 AB , AM = FN , 求证: MN //面 BCE . EAB CF E 1A 1B 1C 1D 1D 3 数学·选修 2-1 例 4. 已知正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB 1、 DD 1 的中点, 求证:平面 ADE ∥平面 B 1C 1F. 例 5. 如图在底面是菱形的四棱锥 P ABCD ?中, 60 , , ABC PA AC a ? ????2 PB PD a ? ?,点E在 PD 上,且: 2:1 PE ED ?,在棱 PC 上是否存在一点 F,使/ / BF AEC 平面?证明你的结论. 【本课总结】 1. 求一个平面的法向量的坐标,首先要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解, 步骤如下: ①设平面的法向量为 n=( x,y,z ); ②找出(求出)平面内的两个不贡献的向量的坐标 a=(a 1 ,b 1 ,c 1 ),b =(a 2 ,b 2 ,c 2); ③根据法向量的定义建立