希尔伯特几何公理.docx

佛山石门中学高二（2）邓乐涛
一、符号及一些说明
有三不同的象：点，直，平面
点用A,B,C,D⋯⋯来表示；
直用a,b,c,d⋯⋯来表示；
平面用α,β,γ,δ⋯⋯来表示。
公理III合同公理
本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。
III1：对于线段AB和一点A’，恒有一点B’，使得线段AB与线段A’B’相等，
记为
因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同：
III2：若且，则；
（根据1,2，我们才能得到线段AB与自己相等，才能得到与等
价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等”。总而言之根
据1,2我们才能得到线段相等的“反身性”，“对称性”，和“传递性”，这才说明这是一个等价关系。）
III3：线段AB，BC在同一直线a上，且无公共点；线段A’B’，B’C’在同一直
a’上，且也无公共点。如果

,
条公理要求段能相加，可以定

AB+BC=AC（其中

A,B,C

共）
相当于段一，我也来定角相等。
我先定角的概念：
对于不同一直线的三点O,A,B，射线OA，和射线OB的全体我们称为角，记为。
O称为的顶点，射线OA，和射线OB称为的边。
同与A,B的次序无关。
根据定，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考的范内。
III4：于

，和一条射

O’A’，在射

O’A’所在的一个平面内，有且只
有一条射

O’B，使得

与

相等，

。而且有
。
如同段一，下面四条等式的意是一的
然后先定三角形：段
III5：若与

AB,BC,CA所构成的形，
，有下列等式

。
有
条公理可以理解三角形全等（SAS），事上SAS个公理的直接推。
公理IV平行公理
条公理得很白，但在史上很重要⋯⋯
先定义平行：
对于同一平面上的两条直线线a和b，a与b无公共点，则称a与b平行，记为.
IV（欧几里得平行公理）：设a是任意一条直线，A是a外的任意一点，在a和A
所决定的平面上，至多有一条直线b，使得且。
根据这个公理，我们可以得到平行线内错角，同位角相等；反之也成立。
公理V连续公理
V1（阿基米德原理）：对于线段AB,CD，则必定存在一个数n，使得沿着射线AB，
自A作首尾相连的n个线段CD，必将越过B点。
在这里必须说下数的阿基米德原理：任意给定两个数a,b，必存在正整
数n，使na>b
V2（直线完备公理）：将直线截成两段a,b(不是直线)，对于任意的A∈a，B∈b，
则总存在一个点C，C∈AB。
也就是说，不再存在一点不在直线上，把这点添加到直线上之后，仍满足前面的
公理I~IV的
（书上的描述太笼统，我还是用我自己的话说了）
要注意的是直线完备公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！
二、公理的相容性
这里所谓的相容性，就是这五组公理是互不矛盾的。也就是说，不能从这些公理
推导到相矛盾的结果。但是，如果直接从公理出发证明相容性几乎是一件不可能的事
情（而且如果一个公理体系含有皮亚诺算术公理的话，这还是一个不可能的事情，这
是根据哥德尔不完全定理得到的），那么我们应该如何来证明呢？希尔伯特将方向转向
了“数”。
我们只说明平面几何（因为好说明），立体几何类似。。
我们考虑的是实数域

R。
①点我们用实数对