用定积分的定义或几何意义求下列定积分的值.doc

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习题五
(A)
1、用定积分的定义或几何意义求下列定积分的值：
(1)
解 将区间分成等份，得，取

作和

于是
由于在上连续故积分是存在的，且它与分法无关，同时也与点的取法无
令　 　　则
9、求下列极限
(1)
解 由洛必达法则可知
原式

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(2)
解 由洛必达法则可知
原式=

(3)　
解 由洛必达法则可知，原式
利用极限 ，可知上式=。
10．设函数在上连续，在内可导并且，试证明函数在是不减的。
证明
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由已知条件，，于是知在上递增，由此得，因此函数在是不减的。
11．求下列平面图形的面积：
曲线与直线，围成的图形。
解 先求出曲线与直线的两交点：，曲线与直线围成的图形
如图5-2所示。
取横坐标为积分变量，它的变化区间为，在区间上求定积分，得所求面积为：

曲线与直线，围成的图形。
解 先求出曲线与直线的两交点，曲线与直线围成的图形如图5-3所示。
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取横坐标为积分变量，它的变化区间为，在区
间上求定积分，得所求面积为：

曲线与直线。
解 先求出曲线与直线
交点，解 方程组：
得交点，曲线与直线围成的图形如图5-4所示。
由对称性，得所求面积
曲线与直线，围成的图形。
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解 求出曲线与直线的交点
，曲线与直线
围成的图形如图5-5所示。
所求面积为：
曲线与曲线围成的图形。
解 先求出曲线与直线的交点，解方程组：
得两交点，曲线与直线围成的图形如图5-6所示。
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所求面积
(6) 曲线及其在点处的切线与直线围成的图形。
解 曲线及其在点处的切线方程为。曲线与直线围成的图形如图5-7。
取纵坐标为积分变量，它的变化区间为，在区间上求定积分，得所求面积为：

(7) 曲线及围成的图形。
解 先求出曲线与的交点，解方程组：
得两交点，曲线与围成的图形如图5-8所示。
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容易看出，图形关于轴对称。所求面积
(8) 曲线,与直线。
解 曲线,与直线
围成的图形如图5-9所示。
所求面积为：
。
(9)曲线与直线及。
解 曲线()与直及围成的图形如图5-10所示。
取纵坐标为积分变量，它的变化区间为，在区间上求定积分，得所求面积为：
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(10) 圆与曲线。
解 先求出曲线与圆的交点，解 方程组：
得两交点，曲线与圆围成的图形如图5-11所示。
容易看出，图形关于轴对称。
所求面积为：
。
12．求下列旋转体的体积：
(1)直线与曲线围成的图形绕轴旋转所产生的立体
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。
解 直线与曲线围成的图形如图5-12所示。
所求体积为：
(2)曲线与直线围成的图形绕轴旋转所产生的立体。
解 曲线与直线围成的图形如图5-13所示。
所求体积为：
(3)曲线与射线围成的图形绕轴旋转所产生的立体。
解 曲线与射线围成的图形如图所示。
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所求体积为：
13．已知销售某种产品件的边际收益是
（元/件），
求：(1)销售1000件该产品时的总收益；
(2)销售500件该产品时，每件产品的平均收益。
解 （1）
于是销售1000件该产品时的总收益为：(元)。
（2）(元)，此时每件产品的平均收益为40元。
14．某药厂生产某种药品千克时的边际成本为
（万元/千克），
又固定成本万元，试求总成本函数。
解 =
=
15．已知生产某产品个单位时的边际成本为
,
固定成本为10，假设产品能够全部售出，且售出后边际收益为
。
求：(1)。
(2)生产多少个单位时利润最大？此时最大利润是多少？
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解 (1) 总成本函数：