线性系统理论LQR.ppt

线性系统理论 2008-2009 学年黄景涛 Email: @ Lab: 10-825 线性二次型最优控制—— LQ ?优化型综合问题?性能指标:以给定的性能指标函数极大或极小作为系统综合的目标?线性二次型最优控制?有限时间情形?无限时间情形线性二次型最优控制—— LQ ? LQ(Linear Quadratic) 问题 LQ 问题的提法: 0 0 0 ( ) ( ) , ( ) , ( ) , [ , ] f f f x A t x B t u x t x x t x t t t ? ? ???? 0 1 1 ( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 2 2 ft T T T f f t J u x Sx x t Q t x t u t R t u t dt ? ? ??? 0, ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 T T T S S Q t Q t R t R t ? ? ????* 1 ( ) pu ????* ( ) ( ( )) ( ( )) min u J u J u ??? ?性能指标其中, 寻找使得线性二次型最优控制—— LQ ?性能指标函数的属性: ?数学上,是控制量 u的泛函; ?物理上,能量=运动能量+控制能量?加权阵的选取: ?S、R、Q根据经验选取; 不同的加权阵性能指标虽都能达到最优,但对应的最优调节系统动态性能不同.?容许控制的特点: ?满足状态方程解存在唯一性条件的所有类型的控制?通常认为?最优控制和最优轨线?最优控制?最优轨线?最优性能 1 ( ) pu ????线性二次型最优控制—— LQ ?极值化的类型?基于性能指标函数的广义能量物理意义,采用最小化形式?实际工程中,根据需要,可采用最大化或最小化?最优控制问题的数学实质?性能指标泛函的约束最优化(极值问题) ?数学上多采用变分法?最优控制问题按末时刻的分类?有限时间 LQR :只考虑系统在过渡过程中的最优运行?无限时间 LQR :还要考虑系统趋于平衡状态时的渐近行为;更实用?调节问题和跟踪问题?最优调节问题: 寻找使性能指标泛函最优的控制量 u,使系统由初始状态驱动到零平衡态?最优跟踪问题: 寻找使性能指标泛函最优的控制量 u, 使系统输出跟踪参考输入. ?最优跟踪是最优调节的推广,可转化为等价的调节问题. 有限时间 LQ 问题的最优解 0 0 0 ( ) ( ) , ( ) , ( ) , [ , ] f f f x A t x B t u x t x x t x t t t ? ? ???? 0 1 1 ( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 2 2 ft T T T f f t J u x Sx x t Q t x t u t R t u t dt ? ? ??? 0, ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 T T T S S Qt Q t R t Rt ? ? ????[有限时间时变 LQ 问题最优解] 对有限时变 LQ 调节问题,设末时刻为固定,组成对应矩阵 ati 微分方程: 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ] T T f f P t P t A t A t P t Q t P t B t R t B t P t P t S t t t ?? ? ???? ??解阵 P(t) 为正半定对称阵。则为最优控制的充分必要条件是具有形式: * * * * 1 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) T u t K t x t K t R t B t P t ??? ?* * * * 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) x t A t x t B t u t x t x ? ? ??*