k6大数(2009).ppt

求双曲线 y =1/ x 在点(1/2 ,2) 处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解根据导数的几何意义,所求切线的斜率为?? 2 1 1 yxx ??? ??由点斜式可得切线方程为 . 所求法线的斜率为所求法线方程为 112| x k y ??? 2121| xx ???4 ?? 1 2 4( ) 2 y x ? ??? 4 4 0 x y ? ?? 21 1 1 4 kk ?? ? 2 8 15 0 x y ? ?? 1 1 2 ( ) 4 2 y x ? ? ? . (3)导数的第三种解释是变化率函数 y=f (x) 在点 x 0处的导数表示变量 y 在点 x 0 关于 x的瞬时变化率,简称变化率. (的大小反映了函数在点 x 0变化的快慢程度.) 0 ( ) f x ? 0 ( ) f x ? 0 0 0 00 ( ) lim ( ) ( ) lim xx y f x x f x x f x x ????????????? M Nyo y? y=f(x)?x x 0+?xxx 0f(x 0) f (x 0+?x) 单侧导数 0 ( ) f x ?? 0 ( ) f x ??左导数 derivative on the left 右导数 derivative on the right 函数在点 x 0处可导左导数和右导数都存在且相等. 函数 f (x )在开区间(a , b )内可导,且( ) f b ??( ) f a ??和存在,则称 f (x) 在闭区间[a , b ]内可导. ? 0 0 00 ( ) ( ) ( ) lim h f x h f x f x h ???? ??? 0 0 00 ( ) ( ) ( ) lim h f x h f x f x h ???? ??? sin 0 2 ( ) (0). tan 0 2 x x f x f x x ???? ??????? ???求 0 ( ) (0) (0) lim 0 x f x f fx ???????解答 0 sin sin0 lim 0 xxx ????? 0 sin lim xxx ??? 0 ( ) (0) (0) lim 0 x f x f fx ??????? 0 tan sin0 lim 0 xxx ????? 0 tan lim xxx ???1? 1?(0) (0) 1 f f ? ?? ?? ??(0) 1 f ?? ?小结: (1)若f(x) 在点 x 可导,则 f(x) 在点 x 连续. 如果函数 f(x) 在点 x 处可导, 即由极限与无穷小的关系知其中?是?x→0 时的无穷小, 上式两端同乘以?x 得由此可见,当?x→0 时, ?y→0, 即这就是说, f(x) 在点 x 处是连续的. 定理 3可导函数一定是连续的. 定理 3的逆命题不真,即 0 lim ( ) xy f x x ??????( ) y f x x ???? ??( ) y f x x x ??? ? ??? 0 lim 0 xy ??? ?所以有如下结论: 存在, 讨论函数 f (x ) = |x |在点 x =0 的连续性和可导性。 x y O y x ?故函数 f (x ) = |x |在点 x =0 连续,故函数 f (x ) = |x |在点 x =0 不可导连续是可导的必要非充分条件另一方面, (2) f(x) 在点 x连续时,不一定在点 x 可导从图形上看,x =0 处为尖点,在该点处的切线不存在,即在该点处不可导. 0 0 lim ( ) lim 0 x x f x x ? ?? ?? ? 0 0 lim ( ) lim( ) 0 x x f x x ? ?? ??