正十七边形尺规作法与证明.docx

正十七边形尺规作法与证明证明先计算或作出 cos() 17 360 ?设正 17边形中心角为 a,则 17a =360 °,即16a =360 ° -a 故 sin16 a =-sin a,而 sin16 a =2sin8 a cos8 a =4sin4 a cos4 a cos8 a =16sin a cos a cos2 a cos4 a cos8 a 因 sin a? 0,两边除之有: 16cos a cos2 a cos4 a cos8 a =-1 又由 2cos a cos2 a =cos a +cos3 a等注意到 cos15 a =cos2 a, cos12 a =cos5 a等,有: 2(cos a +cos2 a+…+cos8 a )=-1 令: x =cos a +cos2 a +cos4 a +cos8 a y =cos3 a +cos5 a +cos6 a +cos7 a 有: x+y =2 1?又 xy =(cos a +cos2 a +cos4 a +cos8 a )(cos3 a +cos5 a +cos6 a +cos7 a) =2 1 (cos2 a +cos4 a +cos4 a +cos6 a+…+cos a +cos15 a) 经计算知 xy =-1 因而:x=4 17 1?? y=4 17 1??其次再设:x 1 =cos a +cos4 a,x 2 =cos2 a +cos8 ay 1 =cos3 a +cos5 a,y 2 =cos6 a +cos7 a 故有 x 1 +x 2=4 17 1?? y 1 +y 2 =(-1- √ 17)/4 最后,由 cos a +cos4 a=x 1 ,cos a cos4 a=2 1y 可求 cos a之表达式,它是数的加减乘除平方根