三角函数（江都大桥）.doc

三角函数三道押卷题

江都市大桥高级中学 高三数学组
1．如图，如今要在一块半径为1 m，圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点三角函数三道押卷题

江都市大桥高级中学 高三数学组
1．如图，如今要在一块半径为1 m，圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，MNPQ的面积为S.
（1)求S关于θ的函数关系式;
（2)求S的最大值及相应θ的值．
【解析】：
（1）分别过点P、Q作PD⊥OB,QE⊥OB，垂足分别为D、E，那么四边形QEDP是矩形．
PD＝sinθ,OD＝cosθ.
在Rt△OEQ中，∠AOB＝,
那么OE＝QE＝PD。
所以MN＝PQ＝DE＝OD－OE＝cosθ－sinθ。
那么S＝MN×PD＝(cosθ－sinθ)×sinθ
＝sinθcosθ－sin2θ，θ∈(0，)．
(2)S＝sin2θ－（1－cos2θ)＝sin2θ＋cos2θ－＝sin(2θ＋)－.
因为0〈θ〈，所以〈2θ＋<,
所以<sin(2θ＋)≤1。
所以当2θ＋＝，即θ＝时,S的值最大为 m2.
即S的最大值是 m2，相应θ的值是。
2．在关于x的方程ax2－bx＋c＝0中,a、b、c分别是钝角三角形ABC的三内角A、B、C所对的边，且b是最大边．
（1）求证：该方程有两个不相等的正根；
(2）设方程有两个不相等的正根α、β，假设三角形ABC是等腰三角形，求α－β的取值范围．
【解析】(1）证明：因为△ABC是钝角三角形，且b是最大边，故－1〈cosB〈0,且b2＝a2＋c2－2accosB。
故关于x的方程的根的判别式Δ＝（－b）2－4ac＝2b2－4ac＝2(a2＋c2－2accosB)－4ac＝2（a－c)2－4accosB〉0。
所以，方程有两个不相等的实根（设两实根分别为α，β)．
由根和系数的关系可得 ,所以该方程有两个不相等的正根．
（2）假设三角形ABC是等腰三角形，那么有a＝c，于是有 ，
所以（α－β）2＝α2＋β2－