2006年第47届国际数学奥林匹克(IMO)解答.txt

第
47届
IMO试题解答
(-13于斯洛文尼亚,卢布尔雅那)
linchang编译
第一天
(韩国) △ABC的内心为
I,三角形内一点
P满足
∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠, AP≥AI,而且等号当且仅当
P=I时成立.
证.∠PBC+∠PCB= 12
(∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB,故∠PBI=∠PCI,从而
TOPIBA
C
P,B,C,
B,C,I与
BC边上的旁切圆心
T共圆,
且
IT是这个圆的直径, IT的中点

A,I,T共线(∠BAC的平分线),且
P
在圆周上, AP+PO≥AO=AI+IO , PO=IO, 故
AP≥AI.
等号当且仅当
P为线段
AO与圆周的交点即
P=I时成立.
(塞黑)正
2006边形
P的一条对角线称为好的,如果它的两端点将
P的边界分
成的两部分各含
.
设
P被不在
P的内部相交的

有两条边为好的等腰三角形个数的最大值.

ABC,P的边界被
A,B,C分为
3段,A-B段所含
P
的边数记作
m(AB).由于
m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006,故等腰三角形若有两条好边,
.
考虑任一好三角形
ABC(AB=AC).A-B段上若有别的好三角形,其两腰所截下
的
,而
A-B段上
P的边数为奇数,
故
A-B段上必有
P的一边
α不属于更小的腰段,同理
A-C段上也有
P的一边
β不属
于更小的腰段,令△ABC对应于{α,β}.由上述取法,两个不同的好三角形对应的二元
2006
集无公共元,因此好三角形不多于
2
=1003个.
设
P=A1A2…A2006,用对角线
A1A2k+1(1≤k≤1002)及
A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所
作的剖分图恰有
,好三角形个数的最大值是
1003.
(爱尔兰)求最小实数
M,使得对一切实数
a,b,c都成立不等式
|ab(a2-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)|≤M(a2+b2+c2)2.
解. ab(a2-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
记
a-b=x,b-c=y,c-a=z,a+b+c=s,则
a2+b2+c2= 13
(x2+y2+z2+s2).原不等式成为
M(x2+y2+z2+s2)2≥9|xyzs| (x+y+z=0).
x,y,
x,y≥0. 则|z|=x+y, x2+y2≥
(x+y)2,
2
(x+y)2≥-几何平均不等式
11
(x2+y2+z2+s2)2≥( 3 (x+y)2+s2)2=( 1 (x+y)2+ (x+y)2+ (x+y)2+s2)2
222
4
)62 )2=4
≥(4 (x+
ys2 (x+y)3|s|≥16 2 |xyzs|.
8
即
M=92 时原不等式成立.
32
等号在
s= 2 ,x=y=1,z=-2,即
a:b:c=( 2 +3): 2 :( 2-3)
的
M=92.
32
第二天
4.(美国)求所有的整数对(x,y),使得 1+2x+22x+1=y2.
(x,y),显然
x≥0,且(x,-y)=0时给出两组解(0,±2).
设
x,y > 2x(2x+1+1)=(y+1)(y-1). y+1与
y-1同为偶数且只有一个
被

x≥3,且可令
y=m·2x-1+ε,其中
m为正的奇数,ε=±
1-εm=2x-2(m2-8).
若
ε=1, m2-8≤0,m=.
故必
ε=-1,此时 1+m=2x-2(m2-8)≥2(m2-8),解得
m≤
m=1不符合,只有
m=3,x=4,y=23.
因此共有
4组整数解(0,±2),(4,±23).
5.(罗马尼亚)设
P(x)为
n次(n>1)整系数多项式,
Q(x)=P(P(…(P(x))…)),其中
P出现
,最多存在
n个整数
t,使得
Q(t)=t.

Q的每个