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新起点备战 2011 年十月在职联考辅导数学讲义内部资料请勿外传新起点教育: : 020-33813516 85442110 1 第一章函数极限连续第一节极限一、数列极限 1. 数列极限的定义设数列?? na ,当项数 n 无限增大时,如果 na 无限趋近于某个常数 A ,则称 A 为数列?? na 的极限,记作 lim nn a A ??? 2. 数列极限的四则运算法则若n ??时,, n n x a y b ? ?,则(1) n n x y a b ? ??; (2) n n x y ab ?; (3)nnxa y b ?( 0) b? 3. 数列极限存在准则(1 )单调递增有上界的数列必有极限(2 )单调递减有下界的数列必有极限(3 )夹逼法则:若 n y a ?,n z a ?,且 n n n y x z ? ?,则 n x a ? 2 2 2 1 2 ( ... ) lim nn n n n ??? ??二、函数极限 1. 函数极限的定义(1)?? lim x f x A ???,指的是 x ??时,?? f x 的函数值无限趋于常数 A; ?? lim x f x A ???的充分必要条件是???? lim lim x x f x f x A ??? ???? ?比如, arctan lim xx ??, lim xxe ???不存在。(2)?? 0 lim n x f x A ??,是指当 x 无限趋于 0x 0 ( ) x x ?时,?? f x 的函数值无限趋于常数 A; 比如,函数?? 24 , 2 2 0, 2 xx f x xx ??????????,当2x?时,极限是 4 ,与2x?处的函数值无关。(3 )左极限?? 0 lim x x f x ??,右极限?? 0 lim x x f x ???? 0 lim n x f x A ??的充分必要条件是???? 0 0 lim lim x x x x f x f x A ? ?? ?? ?极限不存在的三种情形: 1 左、右极限都存在,但不相等;比如, 0 lim xxx ? 2 左、右极限有一个不存在;比如, 111 lim xxe ?? 3 左、右极限都不存在;比如, 01 sin lim xx ?新起点备战 2011 年十月在职联考辅导数学讲义内部资料请勿外传新起点教育: : 020-33813516 85442110 2 2. 函数极限的性质(1 )唯一性(2 )局部有界性:若?? 0 lim x x f x A ??,则?? f x 在0x 附近有界(3 )局部保号性:若?? 0 0( 0) lim x x f x A ?? ??,则在 0x 附近?? 0( 0) f x ? ? 3. 运算法则(1 )四则运算法则(2 )夹逼法则(3 )复合函数的极限法则设???? y f x ??,若?? 0 lim x x x a ???,?? lim u a f u b ??,则???? 0 lim x x f x b ???; 比如,0 1 cos 2 lim xx ?? ? 4. 两个重要极限(1)0 sin 1 lim xxx ??(2)?? 101 1 1 lim lim yx y x x e y ?? ?? ?? ???? ?? ? 5. 洛比达法则例 1.(1)求220 3 2 2 3 lim x x x x x ?? ?? ?(2)求04 5 3 lim xxx ??? ?例 tan lim xxx ? xx?? sin )1(1 lim ??=( ) A、-? B、-1C、0D、1 例 5. 新起点备战 2011 年十月在职联考辅导数学讲义内部资料请勿外传新起点教育: : 020-33813516 85442110 3 例 6.??型,有理、无理分式求极限例 ?, (利用?? 101 1 1 lim lim yx y