求微分方程.doc

1. 求微分方程(x2 +y2 )dx-xydy=0 的通解。答: 这是一阶齐次微分方程(x^2+y^2)dx-xydy=0 dy/dx=(x 2 +y 2 )/(xy) dy/dx=((x/y) 2 +1)/(x/y) 令 u=y/x 则 dy=du*x+dx*u dy/dx=(du/dx)*x+u 代入得(du/dx)*x+u=(u 2 +1)/u=u+1/u du/dx=1/(xu) u*du=dx/x 两边积分得(1/2)u 2 =lnx+C 将 u=y/x 回代(1/2)(y/x) 2 =(lnx)+C y2 =2x 2 ((lnx)+C) 这是该微分方程的通解~ 2. 求微分方程 y′-ytanx=secx,y(0)=0 的特解。答: 属于一阶线性微分方程 e^( ∫-tanxdx) = e^(ln(cosx)) = cosx (y*cosx)' = cosx*secx =1 ycosx =x +C y(0)=0 C=0 y =x/cos x 3. 求微分方程 yy″+2y ′2 =0 的通解。解:设 y'=p, 则 y''=pdp/dy ∴ p(ydp/dy-p)=0 ∴ ydp/dy- 2 p=0 ∴ dp/p= 2 dy/y ∴ y'=C1y ∴ y=C2e^(C1x) (C1,C2 是积分常数)故通解是 y=C2e^(C1x) 。 4. 求微分方程 y″-5y ′+6y=xe 2 x 的通解。 5. 设一平面垂直于平面 z=0, 并通过从点(1,-1,1) 到直线???????0 01x zy 的垂线,求此平面方程。解:平面 z=0 就是 xoy 平面,所求平面垂直于 z=0 ,说明所求平面平行于 z轴( 即垂直于 xoy 平面)。直线 L: y-z+1=0 , x=0 ,是在 yoz 平面内的一条直线;将其方程改写成标准形式就是: x/0=(y+1)/1=z/1 ,其方向数为{0,1, 1} ;为了求出从点 M(1 , -1, 1) 到直线 L 的垂直线的方程,先作一平面过点 M(1 , -1, 1) 且垂直于 L ,那么这个平面方程应为 0× (x-1)+1 × (y+1)+1 × (z-1)=0 ,即 y+z=0.........(1) 再求已知直线 L 与平面(1) 的交点 N 。为此,令 x/0=(y+1)/1=z/1= λ,于是得直线 L 的参数方程为: x=0 , y= λ-1, z= λ.........(2) 将(2) 代入(1) 式,便得 2λ-1=0 ,故λ=1/2 ;因而求得交点 N 的坐标为: x=0 , y=-1/2 , z=1/2 ; 即 N(0 , -1/2 , 1/2) ;因为直线上两点的坐标差是这直线的一组方向数,故所求垂直线的方程为: (x-1)/(0-1)=(y+1)/(-1/2+1)=(z-1)/(1/2-1) ,即有(x-1)/(-1)=(y+1)/(1/2)=(z-1)/(-1/2) ,各项都乘以 1/2 ,把方向数变为整数得: (x-1)/(-2)=(y+1)/1=(z-1)/(-1) , 就是从点(1, -1, 1) 到直线 L 的垂线的方程, 其方向数为{-2 ,1, -1} 。该直线在所求的平面上,且所求平面平行于 z 轴,故设过 M 点的平面为: A(x-1)+B(y+1)+