第四章基于线性代数与差分方程方法的模型.ppt

基于线性代数与基于线性代数与差分方程方法的模型差分方程方法的模型在第三章中,我们有多处对不连续变化的变量采取了连续化的方法,从而建立了相应的微分方程模型。但是由于以下原因: 第一,有时变量事实上只能取自一个有限的集合; 第二,有时采取连续化方法后建立的模型比较复杂,无法求出问题的解,从而只能求它们的数值解。也就是说,在建模时我们对离散变量作了连续化处理,而在求解时,又对连续变量作了离散化处理,使之重新变为离散变量。所以采取连续化方法的效果有时并不很好,因而是不可取的。电子计算机的广泛应用为我们处理大量信息提供了实现的可能,这就十分自然地提出了一个问题,对具有离散变量的实际问题直接建立一个离散模型是否更为可取? 本章介绍的几个模型就是基于这种想法建立起来的。电子计算机的广泛应用为我们处理大量信息提供了实现的可能,这就十分自然地提出了一个问题,对具有离散变量的实际问题直接建立一个离散模型是否更为可取? 本章介绍的几个模型就是基于这种想法建立起来的。§ § 状态转移问题状态转移问题所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下,系统由一状态所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下,系统由一状态逐步转移到另一状态是否可能,如果可以转移的话,应如何逐步转移到另一状态是否可能,如果可以转移的话,应如何具体实现? 具体实现? 例 人、狗、鸡、米过河问题这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、鸡、米过河,但小船除需要人划外,最多只能载一物过河, 而当人不在场时,狗要咬鸡、鸡要吃米,问此人应如何过河。在本问题中,可采取如下方法:一物在此岸时相应分量为 1,而在彼岸时则取为0,例如( 1,0,1,0 )表示人和鸡在此岸,而狗和米则在对岸。在本问题中,可采取如下方法:一物在此岸时相应分量为 1,而在彼岸时则取为0,例如( 1,0,1,0 )表示人和鸡在此岸,而狗和米则在对岸。(i)可取状态:根据题意,并非所有状态都是允许的,例如( 0,1,1,0 )就是一个不可取的状态。本题中可取状态(即系统允许的状态)可以用穷举法列出来,它们是: 人在此岸人在对岸(1,1,1, 1) (0 ,0,0, 0) (1,1,1, 0) (0 ,0,0, 1) (1,1,0, 1) (0 ,0,1, 0) (1,0,1, 1) (0 ,1,0, 0) (1,0,1, 0) (0 ,1,0, 1) 总共有十个可取状态,对一般情况,应找出状态为可取的充要条件。( ii)可取运算:状态转移需经状态运算来实现。在实际问题中,摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量(转移向量),用它来反映摆渡情况。例如(1,1,0,0) 表示人带狗摆渡过河。根据题意,允许使用的转移向量只能有( 1,0,0,0,)、( 1,1,0,0)、( 1,0,1,0)、(1,0,0,1)四个。规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与转移向量之和为一新的状态向量,其运算为对应分量相加, 转移向量之和为一新的状态向量,其运算为对应分量相加, 且规定且规定 0+0=0 0+0=0 , , 1+0=0+1=1 1+0=0+1=1 , , 1+1=0 1+1=0 。。在具体转移时,只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题化为:由初始状态( 1,1,1,1)出发,经奇数次上述运算转化为( 0, 0,0,0)的转移过程。我们可以如下进行分析: (第一次渡河) (不可取) (不可取) (可取) (不可取) (0,1,1,1) (0,1,1,0) (0,1,0,1) (0,0,1,1) (1,0,0,0) (1,0,0,1) (1,0,1,0) (1,1,0,0) (1,1,1,1) ???????????????????(第二次渡河) ????????(1,0,0,0) (1,0,0,1) (1,0,1,0) (1,1,0,0) (0,1,0,1) (可取) (不可取) 过的状态) (循环,回到原先出现(不可取) (1,1,0,1) (1,1,0,0) (1,1,1,1) (1,0,0,1) ??????????= 以下可继续进行下去,直至转移目的实现。上述分析实际上采用的是穷举法,对于规模较大的问题是不宜采用的。例例 夫妻过河问题夫妻过河问题这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要过河,船最多可载两人,约束条件是根据阿拉伯法律,任一女子不得在其丈夫不场的情况下与其他男子在一起,问此时这三对夫妻能否过河? 这一问题的状态和运算与前一问题有所不同,根据题意,状态应能反映出两岸的男女人数,过河也同样要反映出性别故可如下定义: (i) 可取状态:用H和W分别表示此岸的男子和女子数,状态可