线性代数 第五章 相似矩阵及二次型.ppt

第五章相似矩阵及二次型§1 向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念定义 1 维向量设有 n?? nnyxyxyxyx????? 2211,令??.,的与为向量称yxyx 内积一、内积的定义及性质(Inner product) 1 2 1 2 ( , , , ) , ( , , , ) T T n n x x x x y y y y ? ?? ?内积的运算性质??:,,, 为实数维向量为其中?nzyx????;,,)1(xyyx?????;,,)2(yxyx?????????;,,,)3(zyzxzyx???(4) [ , ] 0, 0 [ , ] 0. x x x x x ? ? ?且当时有??????;,,,zxyxzyx???或????;,,yxyx???或], ][,[],[)5( 2yyxxyx?施瓦茨不等式定义 2 ??,, 222 21nxxxxxx??????令??.或的维向量为称xnx 长度范数向量的长度具有下述性质: 0 , 0; 0 , 0; x x x x ? ???当时当时;xx???.yxyx???二、向量的长度及性质(norm) 维向量间的夹角单位向量及 n??.,11为称时当xx?单位向量???? yx yxyx , os ,0,02???? yxn 夹角 、正交向量组的概念.,0],[yxyx与称向量时当?(orthogonal) 正交若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组. §2 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性质说明 1. 0 . x?特征向量一、特征值与特征向量的概念定义 1 设 A 是n阶矩阵,若数?和 n 维非零列向量 x使关系式 A x=? x 成立,则称数?为方阵 A 的特征值,非零列向量 x 称为 A 的对应于特征值?. ??EA??0 21 222 21 112 11??????? nn nn n naaa aaa aaa???????次方程为未知数的一元称以 n? 0??EA?.的为A 特征方程,, 次多项式的它是 n?记?? EAf???? A 特征多项式??则有的特征值为阶方阵设,,,,.5 21n ijaAn?????;)1( 22 11 21 nn naaa????????????.)2( 21A n??????? 4. 0 . ii A E x n A ?? ?? ??齐次线性方程组的所有非零解向量就是阶方阵的对应特征值的所有特征向量