线性代数课件5-3相似矩阵与方阵对角化new.ppt

2017 2017 年年2 2月月23 23日日2 2时时53 53分分只需寻找§ 3 对称方阵对角化和二次型化标准形 Py x? Ax xf T?使使二次型二次型转换为标准形转换为标准形 T P P AP ??正交阵,使得 yyf T??正交变换正交变换要要判断曲线、曲面形状判断曲线、曲面形状只需将曲线、曲面只需将曲线、曲面方程转化为标准方程方程转化为标准方程只需寻找本章中心本章中心 2017 2017 年年2 2月月23 23日日2 2时时53 53分分本章结构: 本章结构: ?二次型的定义及矩阵表示?正交向量组?特征值与特征向量?方阵对角化的充要条件?对称方阵对角化?二次型化标准型 2017 2017 年年2 2月月23 23日日2 2时时53 53分分本节重点: (1) (1) 求正交相似变换阵将实对称矩阵化为对角阵; 求正交相似变换阵将实对称矩阵化为对角阵; (2) (2) 求正交变换将二次型化为标准形。求正交变换将二次型化为标准形。复习 n阶矩阵 A可对角化可对角化 A有n n个个线性无关的线性无关的特征向量特征向量. ?2017 2017 年年2 2月月23 23日日2 2时时53 53分分求求n n阶特征值和特征向量的方法: 阶特征值和特征向量的方法: 0??EA?1. ; A E ??求特征多项式就是 n阶矩阵 A的特征值; n???,,, 21???? 0??xEA?的非零解非零解, n阶矩阵 A的特征向量. 2017 2017 年年2 2月月23 23日日2 2时时53 53分分一、对称矩阵一定能对角化一、对称矩阵一定能对角化引理引理 1 1对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. . 引理引理 2 2对称矩阵的不同特征值的对称矩阵的不同特征值的特征向量正交特征向量正交. . 推推论论: : 对称矩阵的特征向量都是实向量对称矩阵的特征向量都是实向量. . r r重根,则重根,则, rnEAR???)(??特征向量. r个线性无关的个线性无关的恰有引理引理 3 3 设设A A为为n n 阶对称矩阵阶对称矩阵, , A?是的特征方程的特征方程从而特征值 2017 2017 年年2 2月月23 23日日2 2时时53 53分分 m???,, 21?, 分析: 分析: ( (1 1)设)设对称阵对称阵 A A有有m m个不同特征值个不同特征值它们的重数依次为它们的重数依次为 mttt,, 21?,nttt m????? 21( (2 2)相应于)相应于 i?恰有恰有 it个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 i it ipp, 1?,( (3 3) )?? 1 2 11 1 21 2 1 , , , , , , , , , m t t m mt P p p p p p p ? L L L L 为可逆阵,且有为可逆阵,且有 1 P AP ??? 2017 2017 年年2 2月月23 23日日2 2时时53 53分分??????????????????????????????????得知得知对称方阵对称方阵 A A一定可以对角化一定可以对角化其中其中 1?O 1? 2?O 2?O m?O m? 2017 2017 年年2 2月月23 23日日2 2时时53 53分分定理定理 1 1设设A A为为n n 阶阶对称矩阵对称矩阵, , 1 T Q AQ Q AQ ?? ??则必有则必有正交矩阵正交矩阵 Q, Q, 使使对称方阵对称方阵 A A一定可以对角化,而且相似变换一定可以对角化,而且相似变换阵不唯一阵不唯一. . 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 2017 2017 年年2 2月月23 23日日2 2时时53 53分分步骤: 步骤: m???,, 21?, ( (1 1)设)设对称阵对称阵 A A有有m m个不同特征值个不同特征值它们的重数依次为它们的重数依次为 mttt,, 21?,nttt m????? 21( (2 2)相应于)相应于 i?恰有恰有 it个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 i it ipp, 1?,,把它们正交单位化,把它们正交单位化得得, , i it iqq, 1?, ( (3 3) ) ?? m mt m ttqqqqqqQ,,,,,,,,, 1 2 21 1 11 2 1?????为正交阵,且有为正交阵,且有 1 T Q AQ Q AQ ?? ?? 2017 2017 年年2 2月月23 23日日2