计算方法通选课课件第二章.ppt

第二章插值法一、代数插值的基本概念当给出了函数 y=f(x) 在 n+1 个点上的一张函数表 x : x 0 x 1 x 2 x 3…… x n y : y 0 y 1 y 2 y 3…… y n 以后,要构造一个多项式,满足下面两个条件: (1)是一个不超过 n次的多项式;( 2-1 ) (2)在给定的点上与 f(x i)取相同值( 2-2 ) )(x?)(x?),..., 1,0(nix i?),..., 1,0()(niyx ii???我们称为f(x) 的插值函数(或插值多项式), 点x i为插值节点。)(x?二、线性(一次)插值 1 、问题给出函数表 x : x 0 x 1 y : y 0 y 1 如何构造一个插值函数,使满足(2-1 )和( 2-2 )的要求呢?最简单的就是过(x 0, y 0), (x 1, y 1) 点作一条直线。把直线方程表示为(2-3 ) b ax x??)( 1?)( 1x?)( 1x?为确定,把(x 0, y 0), (x 1, y 1) 两点代入方程(2-3 ),得只要,即可解出 a,b 。从图 可以看出, 这就是用直线近似地代替 f(x) 。显然这样的是满足( 2-1 )和( 2-2 )的。由于是用直线近似地代替函数 f(x) ,所以称这种插值为线性插值。??????? 1 1 0 0yb ax yb ax 10xx?)( 1x?)( 1x? 2 、线性拉格朗日(Lagrange) 插值若把直线方程用两点式来表示,则有(2-4 ) 上式右端是两个线性函数和的线性组合,我们把这两个函数分别记为并把 l 0(x) 叫做点 x 0的一次插值基函数,把 l 1(x) 叫做点 x 1的一次插值基函数,把式( 2-4 )叫做 f(x) 过(x 0, y 0), (x 1, y 1) 两点的一次拉格朗日插值多项式(或线性拉格朗日插值函数)。 01 0 10 11 0 1)( xx xxxx xxyyx ??????? 10 1xx xx?? 01 0xx xx?? 01 0 10 1)(,)( 1 0 xx xx xx xxxlxl ?????? 3 、线性牛顿(Newton) 插值若把直线方程用点斜式来表示,则有(2-5 ) 在x i,x j处定义 f(x) 的一阶均差 f(x i,x j) 为(2-6 ) 因此式( 2-5 )中的是f(x) 在x 1,x 0处的一阶均差 f(x 1,x 0) 。)( )()( 0 )()(0 0 0101 01 01 01xxy xxyx xx xfxf xx yy??????????? ji jixx xfxfjixxf ???)()(),( 01 01)()(xx xfxf??利用均差的对称性,( 2-5 )式可以表示为(2-7 ) 这种形式的插值称为线性牛顿(Newton) 插值。) )(,()()( 0100 1xxxxfxfx????4、线性插值的误差估计关于与f(x) 的误差(或称为余项), 可以证明有下面的定理: 定理 设给定 x : x 0 x 1 y : y 0 y 1是过 x 0,x 1的线性插值函数, [a,b] 是包含(x 0,x 1) 的任一区间,并设, f”(x) 在[a,b] 上存在,则对任意给定的总存在一点(依赖于 x )使)( 1x?)( 1x? 1],[)( baCxf?],[bax?),(ba??(2-8 ) 并且可以进一步证明(2-9 ) ) )(()()()( 10!2 )(1 ''xxxxxxfxR f???????)( max )( ''8 )( 201xfxR bxa xx????