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对面积曲面积分的计算法
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当G为一光滑曲面 ， 被积函数
有
曲面面积元素
积分曲面
对面积的曲面积分(第一类曲面积分)
第2页，共15页，编辑于2022对面积曲面积分的计算法
第1页，共15页，编辑于2022年，星期六
当G为一光滑曲面 ， 被积函数
有
曲面面积元素
积分曲面
对面积的曲面积分(第一类曲面积分)
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计算对面积的曲面积分
——化为二重积分
？
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曲面积分元素为
第一型曲面积分化为二重积分的公式为
用切平面小块 来代替 ，而
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如果曲面 的方程由x=x(y,z)或y=y(x,z)给出，
也可类似地把第一型曲面积分化为yoz面或xoz
面上的二重积分。
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例1 计算 ，其中 是球面

被平面 截出的顶部。
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解 的方程为 ，它在xoy面上的
投影区域D为 ， 的曲面面积元素
为
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所以
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例2 计算 ，其中 是三个坐标面和
平面 围成的四面体的整个边界曲面。
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解 边界曲面 由四块组成：
他们的表达式分别是
于是
由于在 ， ， 上 均为零，
所以
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在 上 ， ，
又 在xoy面上的投影区域D为
围成的三角形
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所以
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例3 计算 ，其中 为圆柱面
介于平面z =0和z =H(H>0)且在第一卦限的部分。
解 由于 不能表示成z=z(x,y)的形式
现写成 ，这样就需投影到yoz面上，
投影区域D为矩形
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又
有
于是
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而
所以
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