: . 0, x→0 ∴ lim cos x = lim[1 − (1 − cos x )] = 1. x→0 x→0 暨南大学电气信息学院苏保河主讲3 单调有界数列必有极限(准则2) 注 数列{ xn }单调性的定义： 如果 xx12≤ ≤≤LL xxnn ≤+ 1 ≤ 则称 数列 { xn } 单调增加; 如果 xx12≥≥≥≥LL xxnn+ 1 ≥ 则称 数列 { xn } 单调减少; 单调增加和单调减少统称为单调. 暨南大学电气信息学院苏保河主讲x1 ≤ x2 ≤ L ≤ xn ≤ xn+1 ≤ L ≤ M lim xn = a ( ≤ M ) n→∞ x x1 x2 xn xn+1 a M 注1. 单调增加有上界的数列必有极限. x1 ≥ x2 ≥ L ≥ xn ≥ xn+1 ≥ L ≥ m lim xn = b ( ≥ m ) n→∞ x m b xn+1 xn x2 x1 注2. 单调减少有下界的数列必有极限. (证明超刚, 不做要求) 暨南大学电气信息学院苏保河主讲二、 两个重要极限 sin x 1. lim = 1 x→ 0 x 证 当 π 时 x ∈ (0, 2 ) : △AOB 的面积＜＜△圆扇形AOB的面积 AOD的面积 即 1 1 1 2 sin x < 2 x < 2 tan x B D x 1 1 亦即故有 sin1 <x < x < tan x (0 < x < π ) x sin x cos x 2 o C A sin x 显然 cosx << 1 (0 < x < π ) x 2 sin x 又因为 lim cos x = 1, lim 1 = 1, ∴ lim = 1. x→0 x→0 x→0 x 暨南大学电气信息学院苏保河主讲1 − cos x 例1. 求lim . x→0 x2 2 x 2 2sin 1 ⎡sin x ⎤ 解 原式 lim 2 lim 2 , : = 2 = ⎢ x ⎥ x→0 x 2 x→0⎣ 2 ⎦ x 令 t = , t → 0, 2 2 1 ⎡sin t ⎤ 1 2 1 原式 = lim = ⋅1 = . 2 t→0⎣⎢ t ⎦⎥ 2 2 sin口 注 lim = 1 (口→ 0) 口 暨南大学电气信息学院苏保河主讲arctanx 例2. 求 lim . x→0 x 解: 令 t = arctan x, 则 t → 0, x = tant , t cost 原式 = lim = lim
