10.1　10.1.1　复数的概念.docx

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■. 第由章复数
DI SHI ZHANG
法(教师独具内容)
课程标准：1 .通过方程的解，认识复数2理解两个复数相等的含义.
教学重点：复数的概念.
教学难点：应用复数相等的充要条两个复数相等, 记作
Zl = Z2.
如果q, b, c, d都是实数，那么
a + bi = c + di<=>| 01= c 且 Z? = d；
a + bi = 0台问a = 0 且 1 = 0.
关于复数的代数形式
在复数z = a + bi(a, 8€R)中注意：
。，bER,这是确定z的实部、虚部的前提，并可进一步判定z是实数、 虚数，还是纯虚数.
设复数z时，要注明。，力的范围.
如z是纯虚数，可设为z = Ai(0€R且力乂0),
z是虚数，可设为z = Q + Z?i(。，Z? € R且力尹0).
形如而的数不一定是纯虚数，只有bER且人尹0时，才是纯虚数.
复数相等的充要条件的应用
利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用 方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，复数相等的充要 条件是求复数值、在复数集中解方程等问题的重要理论依据.
两个复数一般只能说相等或不相等，不能比较大小
关于这一点的理解要注意以下几点：
(1)根据复数1 +加与C +历相等的定义，可知a = c,b = d两式必须同时成立； 两式中，只要有一个不成立，那么就有a + bi^c + di.
(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.
±1评价自测g
1-判一判(正确的打“ J”，错误的打“X”)
⑴若。，b为实数,则z = a + bi为虚数.()
^ z = m + m(m, 〃€C),则当且仅当m = 0,时，z为纯虚数.()
衍是纯虚数.()
如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相 等.()
答案(1)X (2)X ⑶ X (4)J

若。+ Z?i = 0,贝U实数。=,实数力=.
(1 + 何的实部与虚部分别是—.
若复数(。+ 1) + (〃 _ 1)祯£ R)是实数，贝lj。.
答案(1)0 0 (2)0,1+73 (3)±1形成
HE XIN SU YANG XING CHENG
题型一复数的有关概念
例1给出下列四个命题：
两个复数不能比较大小；
若X, yec,则x + ji=l+i的充要条件是x = y=l；
若实数。与Qi对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
复数。+如。，DER)不是实数.
其中真命题的个数是—.
［解析］①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小;
由于X, y都是复数，故x + yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；
若。=0,则Qi不是纯虚数；
当力=0时，复数a + bi是实数.
［答案］0金版点睛
数集从实数集扩充到复数集后，：两数大小的比较， .
［跟踪训练1］下列命题中正确的是()
若q€R,贝lj(o+l)i是纯虚数
若。，Z? € R 且 a>b,贝\\ a + \>b + i
若32-1) + (/ + 3工+ 2)1是纯虚数，则实数x = ±l
两个虚数不能比较大小
答案D
解析 对于复数。+衍(。，D6R),当，=，若1 =-1,则(。+3不是纯虚数，故A错误；B中，两个虚数不能比较大小，故B 错误；C中，若x= -1,也不成立，故C错误；D正确.
题型二复数的分类m2 + m - 6°
例2当仞为何实数时，复数z= s + 5 +(m2 + 8m+15)i是实数？虚数？ 纯虚数？
fm2 + 8 m + 15 = 0,
［解］LF任R,.•.①当m + 5 尹 0,
即洗=-3时，z是实数.
当 7722 + 8/7t+ 15^0,且 m + 5^0,
即— 3且mN — 5时，z是虚数.
/n2 + m -6右
当--=0,且 nr + 8m + 15尹0,m + j
即m = 2时，z是纯虚数.
金版点睛
利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤
判定复数是否为a + bi(a, 0 6R)的形式，实部与虚部分别为哪些；
依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；
解相应的方程(组)或不等式(组)；
求出参数的值或取值范围.
［跟踪训练2］设复数z = (m2 - 1) + (m2 - 2m - 3)i,试求实数m取什么值时， z分别为：(1)实数；(2)纯虚数.
解(1)当m2-2