巧解外接球的问题.doc

1 巧解外接球问题摘要:外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜,本文就长方体、正方体及棱锥的外接球有关问题,给出了特殊解法。关键词:巧解外接球问题《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了基本要求:“在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形; 再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;……。”由此可见,长方体模型是学习立体几何的基础,掌握长方体模型,对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用。有关外接球的立体几何问题是近年各省高考试题的难点之一,这与学生的空间想象能力以及化归能力有关,本文通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。一、直接法 1 、求正方体的外接球的有关问题例1(2006 年广东高考题)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为. 解析:要求球的表面积,只要知道球的半径即可. 因为正方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的直径,因此,求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长, 27?.例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为 24 ,:要求球的体积,还是先得求出球的半径,而球的直径正好是正方体的体对角线,因此,由正方体表面积可求出棱长,从而求出正方体的体对角线是 2 3 所以球的半径为 3 .故该球的体积为 4 3 ?. 2 、求长方体的外接球的有关问题例3(2007 年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为 1, 2, 3 ,则此球的表面积为. 解析:关键是求出球的半径,因为长方体内接于球,所以它的体对角线正好 2 为球的直径。长方体体对角线长为 14 ,故球的表面积为 14?. 例4、(2006 年全国卷 I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积为( ). ? ? ? ?解析:正四棱柱也是长方体。由长方体的体积 16及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2 ,因此,长方体的长、宽、高分别为 2,2,4 ,于是等同于例 3, 故选 C. 二、构造法 1 、构造正方体例5(2008 年福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,:此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,利用直角三角形计算球的半径. 而作为填空题,我们更想使用较为便捷的方法,所以三条侧棱两两垂直,使我们很快联想到长方体的一个角,马上构造长方体,且侧棱长均相等,所以可构造正方体模型,如图 1,则 AC=BC=CD 3 ?,那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线,故所求表面积是 9?.(如图 1) 例 6( 2003 年全国卷)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一图1 图2 3 球面上,则此球的表面积为( ) ? ? C. 3 3 ? ?解析:一般解法,需设出球心,作出高线,构造直角三角形,再计算球的半径. 在此,由于所有棱长都相等,我们联想只有正方体中有这么多相等的线段, 所以构造一个正方体,再寻找棱长相等的四面体,如图 2,四面体 A BDE ?满足条件,即 AB=AD=AE=BD=DE 2 BE ? ?,由此可求