高中数学平面向量知识点总结.doc

高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量
知识点归纳

1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足＝＋λ(λ∈R)，试求 λ为何值时，点P在第三象限内？
(第18题)
18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求．
19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．
(第19题)
20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值．
一、选择题
(第1题)
1．B
解析：如图，与，与不平行，与共线反向．
2．A
解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对．若＝，可能A，B，C，D四点共线，故C不对
．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对．
3．D
解析：提示：设＝(x，y)，＝(3，1)，＝(－1，3)，a ＝(3a，a)，b ＝(－b，3b)，又a＋b ＝(3a－b，a＋3b)，
∴ (x，y)＝(3a－b，a＋3b)，∴ ，又a＋b＝1，由此得到答案为D．
4．B
解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，
∴ a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cosθ．解得cos θ＝．
∴ a与b的夹角是．
5．A
解析：由平行四边形法则，＋＝，又＋＝，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．
6．D
解析：如图，∵＝，
∴ ＝＋＝＋．

7．C
解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．
而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|，
∴ |a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．
8．D
解析：由 ·＝·＝·，得·＝·,
即·(－)＝0，
故·＝0，⊥，同理可证⊥，
∴ O是△ABC的三条高的交点．
9．C
解析：∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴∥且||≠||．
∴ 四边形ABCD为梯形．
10．D
解析：与，与，与方向都不相同，不是相等向量．
二、填空题
11．－．
解析：A，B，C三点共线等价于，共线，
＝－＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，
＝－＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)，
又 A，B，C三点共线，
D
(第13题)
∴ 5(4－k)＝－7(－k－4)，∴ k＝－．
12．－1．
解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)，
∴ ＝(2，0)，又a＝，
∴ 解得
∴ x＝－1．
13．－25．
解析：思路1：∵ ＝3，＝4，＝5，
∴ △ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即⊥，∴·＝0，
∴ ·＋·＋·
＝·＋·
＝·(＋)
＝－()2
＝－
＝－25．
思路2：∵ ＝3，＝4，＝5，∴∠ABC＝90°，
∴ cos∠CAB＝＝，cos∠BCA＝＝．
根据数积定义，结合图(右图)知·＝0，
·＝·cos∠ACE＝4×5×(－)＝－16，
·＝·cos∠BAD＝3×5×(－)＝－9．
∴ ·＋·＋·＝0―16―9＝－25．
14．．
解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)．
(第15题)
∵ (a＋mb)⊥(a－b)，
∴ (a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m＝．
15．答案：重心．
解析：如图，以，为邻边作□AOCF交AC于点E，则＝＋，又 ＋＝－，
∴ ＝2＝－．O是△ABC的重心．
16．答案：平行四边形．
解析：∵ a＋c＝b＋d，∴ a－b＝d－c，∴＝．
∴ 四边形ABCD为平行四边形．
三、解答题
17．λ＜－1．
解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．
＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］
＝(3