3复变函数.ppt

留数定理是复变函数的定理,若要在实变§3 留数在定积分计算上的应用函数定积分中应用,必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的,要应用到定积分,就必须将定积分变为回路积分中的一部分。 0 ab 1l 2l????? 2)()()( l ba l dzzf dx xf dzzf要变为回路积分,则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分成为回路积分的一部分: 21lll??应是回路的一部分。实积分 1l定义在闭区间[a,b] (线段),此区间( ) ba f x dx ?如图,对于实积分,变量 x , 其中 R( cos ?, sin ??)为 2π0 (cos ,sin ) R d ? ??? 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ? ? ??? ?? ?? ?? ????? sin (e e ) ,cos (e e ) . i i i i z z i iz z 令 z = e i??, 则dz = ie i??d??, 而从而积分化为沿正向单位圆周的积分 2 2 20 1 1 1 1 2 2 ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??| | | | d (cos ,sin )d , ( )d z z z z z R R f z z z iz iz 0?2 ?01?1 ii? cos ?与 sin ??的有理函数. 2 2 20 1 1 1 1 2 2 ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??| | | | d (cos ,sin )d , ( )d z z z z z R R f z z z iz iz 其中 f (z)是z的有理函数, 且在单位圆|z |=1 上分母不为零, 其中 z k(k =1,2,..., n)为单位圆|z |=1 内的 f (z)的孤立奇点. ????? nk k zzzfizzf 1 1||] ),( Res[ π2d)(根据留数定理有例1 计算 22 02 0 1 1 2 ????? ??? ?? cos d ( ) cos I p p p [解] 由于 0< p <1, 被积函数的分母在 0???? 2?内不为零, 由于 cos2 ??= (e 2i ??+ e ?2i ??) /2= ( z 2 + z ?2 ) /2, 因此因而积分是有意义的. 2 2 12 112 1 2 2 ????? ? ??? ? ??| |d z z z z I z z iz p p 的值. 2 2 12 1 1 1 2 1 2 2 ??????? ?? z z z I