函数方程的几种方法.doc

第 1页- 函数方程三、求解函数方程的几种方法: 函数方程的变化多,求解技巧性很强,往往涉及不同领域的数学知识,特别是附加了条件的函数,更是五花八门,各有巧妙。在高数数学各级竞赛中,都有可能会遇到函数方程的问题,在这里我们介绍几种典型的求解函数的方法。 1. 解函数方程: xx xfxf????1) 1()( (1) 解: 令1,0, 1???yy yx ; 则 x y??1 1 , 将此代入( 1 ) 可得: y yy fy yf 12)1 1() 1( ?????或x xx fx xf 12)1 1() 1( ?????。(2) 此时(1) 及(2) 并无法解出)(xf ;所以我们再令 1,0,1 1???zz x ;则x xz 1??,将此代入( 1 )式则可得 z zzfz f?????1 2)()1 1( ,即x xxfx f?????1 2)()1 1( 。(3) 将(1) , (2) 及(3) 联立,则可得到一个以) 1( ),1 1( ),(x xfx fxf ??为独立变数的三元一次方程组; 我们利用消去法来解此问题. (1)+(3) - (2) 可得: x xx xxxf 121 2)1()(2 ???????)1(2 1)( 23?????xx xxxf 。经检验是原函数方程的解. 2.( 2007 越南数学奥林匹克)设 b 是一个正实数,试求所有函数 RRf?: ,使得)3(3)()( 1)(1)(yyfbxyfbbbxfyxf?????????对任意实数 x、y 均成立。解: 将原方程变形为: 1)(3))(()( ???????? yfbxyxbxfbyxf ,(x,)Ry?①令xbxfxg??)()( ,则①等价于 1)(3)()( ???? ygxgyxg ,(x,)Ry?②在②中令 0?y 得1)0(3)()( ??? gxgxg)(Rx?这表明 1)0(0)(??gxg或。 1 )若 0)(?xg)(Rx?,则 xbxf??)( ; 2 )若 1)0(?g ,在②式中令 0?x 得: 1)(1)(33)0()( ????? ygyggyg ,即 0)(3 1)(???yg yg 。)(Ry?③考虑函数 tth t???13)( , 它的导函数 13 ln3)(' 1???tth , 则 11) (log log 0)(' 33?????etth , 于是可知 0)(?th 有两根 1 1?t 和 ct? 2)10(??c , 于是③式等价于 1)(?yg 或c 。Ry?( ,c 为满足 10??c 的常量) 假 设存在 Ry? 0 使cyg?)( 0 , 则)(3)()()0(1 0 1)(000ygcygyygg yg??????????,∴cc yg???? 1)( 0 或1,∴cyg?)( 0 矛盾,因此 1)(?yg)(Ry?,∴xbxf??1)( 综上知: xxbxfbxf????1)()(和说明: 代换法是解函数方程最基本方法,很多函数方程中所特有的性质是通过代换法去发现的。本题也是通过代换法打开了解题的思路。 )(xf 为定义在实数集 R 上的单调连续函数,试解函数方程)()()(yxfyfxf???。解 : 由)()()(yxfyfxf???用 归纳法得: )()()