二重积分计算法ppt详解.ppt

（优选）二重积分计算(jì suàn)法
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一、直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系下二重积分的计算
①积分(jīfēn)区域D为X—型区域
②积分区域D为Y—型区域
④积分区域D 既不的形状(xíngzhuàn)：对于X—型（或Y—型）
直线 与D的边界至多有两个交点
直线 与D的边界至多有两个交点
⑵积分限的确定
对于X—型（Y—型）区域D，用直线x=x(y=y)由下至上（由左至右）穿过D，穿入（出）点为对应积分的下（上）限。
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【例1】计算 ，其中D是由直线
及 所围成的区域。
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外层积分的上、下限均为常数(chángshù)；内层积分上、下限只能是外层积分变量的函数或常数(chángshù)，不能与内层积分变量有关。
⑶两种特殊(tèshū)情形
则积分顺序可交换
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如果(rúguǒ)D是X型区域: j1(x)yj2(x), axb, 则
计算(jì suàn)二重积分的步骤
如果D是Y型区域: y1(y)xy2(y), cyd, 则
(1)画出积分区域D的草图.
(2)用不等式组表示积分区域D.
(3)把二重积分表示为二次积分:
(4)计算二次积分.
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【例3】计算 ，其中D是由直线
及 所围成的区域。
【例2】计算 ，其中D是由直线
及抛物线 所围成的区域。
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★注意(zhù yì)积分次序的选择
【例4】求
其中
解：
若先对x再对y就求不出来(chū lái)
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提示(tíshì):
由对称性, 所求体积(tǐjī)是第一卦限部分体积(tǐjī)的8倍.
【例5】求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.
解
设这两个圆柱面的方程分别为
x2y2R2及x2z2R2.
所求立体的体积为
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【例5】求两个(liǎnɡ ɡè)底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.
解
设这两个(liǎnɡ ɡè)圆柱面的方程分别为
x2y2R2及x2z2R2.
所求立体的体积为
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【例6】求由曲面 及
所围成的立体的体积。
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二、利用(lìyòng)极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极坐标变量 、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.
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提示(tíshì)
我们用从极点O出发的一族射线(shèxiàn)与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
小区域si的面积为:
i
i
i
q
r
r
D
D
=
.
i
r
其中
表示相邻两圆弧的
半径的平均值
.
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则有
i
i
i
i
i
i
q
r
h
q
r
x
sin
,
cos
=
=
.
于是
我们用从极点O出发的一族(yī zú)射线与以极点为中心的一族(yī zú)同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
小区域(qūyù)si的面积为:
其中
i
r
表示相邻两圆弧的
半径的平均值
.
在
D
s
i
内取点
)
,
(
i
i
q
r
,
设其
直角坐标为
(
x
i
,
h
i
)
,
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在极坐标系下的二重积分
在极坐标系下二重积分的计算(jì suàn)
如果积分(jīfēn)区域可表示为 D: j1(q)j2(q), aqb, 则
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讨论
区域如下图, 如何确定(quèdìng)积分限?
(2)
(1)
极点(jídiǎn)在积分区域的边界上
极点包围在积分区域D的内部
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（3）
（4）
极点包围(bāowéi)在积分