新人教B版必修四《三角函数的积化和差与和差化积》课件.ppt

3．3　三角函数的积化和差与和差化积
重点：掌握积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简，求值和恒等证明．
难点：公式的灵活运用．
1．积化和差公式的特点
(1)同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半3．3　三角函数的积化和差与和差化积
重点：掌握积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简，求值和恒等证明．
难点：公式的灵活运用．
1．积化和差公式的特点
(1)同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半．
(2)等式左边为单角α，β，等式右边是它们的和(差)角．
(3)如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正；无余弦函数，系数为负．
2．和差化积公式的特点
(1)同名函数的和或差才可化积；
(2)余弦函数的和或差化为同名函数之积；
(3)正弦函数的和或差化为异名函数之积；
(4)等式左边为单角α和β，等式右边为 的形式；
(5)只有最后一组的符号为负，其余均为正．
3．公式的记忆
课标虽然对此二组公式不要求记忆，但记住运用起来总是方便些．这样记忆公式．
和差化积公式记忆口诀：
“正和正在前，正差正后迁；
余和一色余，余差翻了天．”
(正代表sinα，余代表cosα)，供仅参考．
4．公式的应用
(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．
(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；
[点评]　对于给式求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看 能否直接求结果；若不能，则再对所求化简，直到找到两者的联系为止．“走一走，看一看”对解此类问题是非常必要的．试图利用已知等式及平方关系分别求取cosα，cosβ，sinα，sinβ的值，导致运算烦琐，难以求解．
[例3]　在△ABC中，若sinAsinB＝cos2 ，则△ABC是
(　　)
A．等边三角形　　　　　
B．等腰三角形
C．不等边三角形
D．直角三角形
[解析]　由已知等式得 [cos(A－B)－cos(A＋B)]＝ (1＋cosC)，
又A＋B＝π－C，
所以cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，
所以cos(A－B)＝1.
又－π<A<B<π，所以A－B＝0，所以A＝B.
故△ABC为等腰三角形．
[答案]　B
[点评]　判定三角形形状的基本思路是：对已知三角恒等式化简变形，把三角函数关系式最终化成角之间的关系，利用角之间的关系判定形状，在变形时注意合理利用内角和定理及其变形．
[例4]　求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．
解法三：设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，
y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则
x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，
[点评]　解法一：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．
解法二：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．
解法三：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．
在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．
求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值．
[例5]　求函数y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)的最大值．
[正解]　y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)
＝5sin(x＋20°)＋4cos[(x＋20°)＋30°]
＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋20°)cos30°－4sin(x＋20°)sin30°
[答案]　C
[答案]　D