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高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
(-)向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、 线性运算：加减法、数乘；
3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式
m n p
方向向量：s =（〃?,〃，〃），过点（^Cq , _Yq , Zq ）
x = x0 +mt
< y = yn + nt
3、 参数式方程：-70
Z = Zq + pt
4、 两直线的夹角：S]=（凹，％ , P]） , S? = （"I?，〃2，P2）,
俱俱 + + P1P2
COS0= ~~I
J 就 + + n；
+ P；
L 上 &2 O rrhm2 + + P\P2 = 0
性MM
- m2 n2 p2
5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，
\Am+ Bn + Cp\ sin cp = / ——
A2 + B2 + C2 ■ ^m2 +rr + p2
£〃H。Am+ Bn+ Cp — 0
ABC
£±n^ 一 = 一=一
m n p
第九章多元函数微分法及其应用
基本概念
1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、 多元函数：z — f(x,y)t图形：
3、 极限：，iim = A
4、 连续：，lim y) = /(x0,y0)
(jt,y)TOo，，o)
5、 偏导数：
A(xo,Jo)=lim
/'(Xo+Ax, %) —f(Xo，Vo)
Ax
/v(x0,^0)=Hm
■PX，% + △')—/~3o, %)
Ay
6、 方向导数:
d f d f j
= jcosa +丁cos0其中a,”为l的方向角。
C/ Cz y
7、
梯度：z = f(x, y),则 gradf(x0,y0) = fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j^
dz dz
8、
全微分:设Z = f(x,y),则dz=—dx+—dy
性质
1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
2、 闭区域上连续函数的性质(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)
3、 微分法
定义： M X
复合函数求导：链式法则 Z
若 z = /(w, v), U = "3, y), V = v(x, y),则
dz dz du dz dv dz _ dz du dz dv
dx du dx dx ' dy du dy dv dy
隐函数求导：两边求偏导，然后解方程(组)
应用
1、 极值
1) 无条件极值：求函数z = /(x, y)的极值
fx=o
<
解方程组
求出所有驻点，对于每一个驻点(入0, Vo),令
A=Xcx3o，%), 3 =原3。，为)，c=43o，%),
若AC-B2 >0, A >0,函数有极小值，
若AC-B2 >0, A<0,函数有极大值；
若AC — B < 0,函数没有极值；
若AC-B2 = 0，不定。
2)
条件极值：求函数z = /(x, y)在条件(p(x, y) = 0下的极值
:£(x, j) = f (x, j) + y)
Lagrange 函数
Ly=0
(p(x, y) = 0
2、 几何应用
1） 曲线的切线与法平面
x = xQ)
r 曲线
y = y（'）,则「上-点m（xo，vo，zo）（对应参数为"）处的 z = z（Z）
* _ 工0 = y—% = z _ z° 切线方程为：7^7 — Wo)―而
法平面方程为：x'Oo)(x — X。)+ y(^o)(y — %) + z'Oo)(z — z°) = 0
2) 曲面的切平面与法线
曲面£ : F(x, y, _z) = ° ,则£上一点M(x0, y0,zQ)处的切平面方程为：
Fx(x0,y0,z0Xx-x0) + Fy(x0,y0,z0Xy-y0) + Fz(x0,y0,zQXz-z0) = Q
工_工0 = y_y° = Z — Z。
法线方程为：尤(％%%)F/x0,y0,z0) Fz(x0,yQ,zQ)
第十章重积分
（―）二重积分
n
1、 定5i： n/（^y）dcr = lim£f（^,77A.）ACr,
D k=l
2、 性质：（6条）
3、 几何意义：曲顶柱体的体积。
4、 计算：
1） 直角坐标
D =
(x, y)
(p\x)<y<(p2{x)
a<x<b