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思维特训(二)　中点四边形
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思维特训(二)　中点四边形
中点四边形的定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
中点四边形的形状只与原四边形对角线的位置及数量关系有关．
(1)假设原四边形
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BC，CD，DA的中点．
(1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
(2)当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形(不要求证明)?
图2－S－4
5．如图2－S－5，E，F，G，H分别是线段AB，CB，CD，AD的中点，连接E，F，G，H，判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
图2－S－5
6．如图2－S－6，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且BE＝CF，连接AE，BF，EF，AF，G，H，M，N分别是边AB，AF，EF，BE的中点．
(1)猜想四边形GHMN的形状，并说明理由；
(2)假设AB＝4，CF＝2，求四边形GHMN的面积．
图2－S－6
7．如图2－S－7，在四边形ABCD中，AB＝
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CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．
(1)求证：MN与PQ互相垂直平分；
(2)连接MP，MQ，NP，NQ，假设PQ＝6，MN＝10，求四边形MPNQ的面积和AB的长．
图2－S－7
详解详析
1．D　[解析] A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；
B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；
C．如下列图，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，假设EH∥FG，EH＝FG，那么四边形EFGH为平行四边形，故C正确；
D．如下列图，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，假设EF＝FG＝GH＝HE，
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那么四边形EFGH为菱形，故D错误．
应选D.
2．解：(1)四边形EFGH是菱形．
(2)证明：如图，连接AC，BD，
∵△ABM和△CDM是等边三角形，∴AM＝BM，CM＝DM，∠AMB＝∠CMD＝60°，
∴∠AMC＝∠BMD.
在△AMC和△BMD中，
AM＝BM，∠AMC＝∠BMD，CM＝DM，
∴△AMC≌△BMD，∴AC＝BD.
∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF＝GH＝AC，EH＝FG＝BD，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
(3)△BMC形状的改变对上述结论没有影响．
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3．解：(1)证明：如图，连接BD.
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝BD，EH∥BD.
同理，得FG＝BD，FG∥BD，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)矩形　菱形　正方形
(3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定的．
4．解：(1)四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵在△ABC中，E，F分别是边AB，BC的中点，
∴EF∥AC，且EF＝AC，同理有GH∥AC，且GH＝AC，∴EF∥GH且EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
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(2)当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．
5．解：四边形EFGH为平行四边形．理由如下：
连接AC，BD，如下列图：
∵E，F，G，H分别是线段AB，CB，CD，AD的中点，
∴HG为△DAC的中位线，EF为△BAC的中位线，HE为△ABD的中位线，GF为△CBD的中位线，∴HG∥AC，EF∥AC，HE∥BD，GF∥BD，∴HG∥EF，HE∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
6．解：(1)四边形GHMN是正方形．理由如下：
∵正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且BE＝CF，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
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∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF.
又∵∠CBF＋∠ABF＝90°，
∴∠BAE＋∠ABF＝90°，
∴AE⊥BF.
∵G，H，M，N分别是边AB，AF，EF，BE的中点，
∴GN＝HM＝AE＝BF＝GH＝MN，GH∥BF，GN∥AE，
∴四边形GHMN是菱形，∠HGN＝90°，
∴四边形GHMN是正方形．
(2)∵BE＝CF＝2，AB＝4，∠ABE＝90°，
∴在Rt△ABE中，AE＝＝2 ，
∴GN＝×2 ＝，
∴正方形GHMN的面积为GN2＝5.
7．解：(1