陕西省西安市长安区2022届高三理科数学二模试卷及答案.doc

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2022年陕西省西安市长安区高三理科数学二模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合，，则　　
A． B． C




19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点，恰好是双曲线的左、右顶点，椭圆上的动点满足，过点的直线交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）椭圆上是否存在点使得四边形为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点
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的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设有两个不同的零点，，求证：．
（二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线与曲线交于，两点，设点，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若函数的最小值为，正实数，满足，求证：．
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2022年陕西省西安市长安区高三理科数学二模试卷答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：集合或，，
，
．
故选：．
2．（5分）已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为　　
A．2 B．1 C． D．
【解答】解：，
，
，
复数的虚部为1．
故选：．
3．（5分）函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：函数的存在极值时，必须满足这一点的导函数值为0，并且这一点的两侧导函数值的符号相反，
结合导函数的图像，可知函数极值点的个数为4个．
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故选：．
4．（5分）已知是定义在，上的函数，那么“函数在，上的最大值为”是“函数在，上单调递减”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若函数在，上的最大值为，
则函数在，上不一定单调递减，故充分性不成立，
由单调性的定义可知，若函数在，上单调递减，
此时函数在，上的最大值为，即必要性成立，
综上，“函数在，上的最大值为”是“函数在，上单调递减”“的必要不充分条件，
故选：．
5．（5分）《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第天相遇，则的最小整数值为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：设驽马、良马第天行程分别为、，
则数列是以100为首项，以为公差的等差数列；数列是以155为首项，以12为公差的等差数列，
所以的前项和为，
的前项和为，
令，得，即，
解得或，又，，
所以的最小值为8．
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故选：．
6．（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满局，．若某人获胜的局数大于，则此人赢得比赛．下列说法正确的是　　
①时，甲、乙比赛结果为平局的概率为；
②时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为；
③在局比赛中，甲获胜的局数的期望为；
④随着的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③④
【解答】解：时，甲、乙比赛结果为平局的概率为，
故①错误；
故排除选项、；
时，甲赢得比赛的概率为，
乙赢得比赛的概率为，
故②正确；
由二项分布的数学期望公式知，
在局比赛中，甲获胜的局数的期望为，
故③正确；
在局比赛中，甲赢得比赛的概率为，
故随着的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近，
故④正确；
故选：．
7．（5分）已知函数，若函数的一个零点为．其图像的一条对称轴为直