高数重要知识点.docx

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高等数学上册重要知识点
第一章函数与极限
.函数的概念 1两个无穷小的比较
设 lim f(
注：上述关于x X0时未定式—型的洛必达法则，对于x 时未定式—型
同样适用.
n
例3计算极限lim Xx (n 0).
x e
解 所求问题是—型未定式，连续n次施行洛必达法则，有
lim
X
n
X
X e
lim
X
n 1 nx
lim
X
n 2
n(n 1)x
X
e
使用洛必达法则时必须注意以下几点:
⑴洛必达法则只能适用于“ 0”和“一”型的未定式，其它的未定式须
先化简变形成“ 0 ”或“一”型才能运用该法则；
0
(2) 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；
(3) 洛必达法则的条件是充分的，，在该法则失效时并不 能断定原极限不存在.

基本公式lim —X) 心0^ f'(xo)(如果存在)
X 0 x

1 n k 1
基本格式lim - f (-) f (x)dx (如果存在)
n n k i n 0

函数的间断点分为两类：
(1)第一类间断点
设X0是函数y = f (x)的间断点。如果f (x)在间断点X0处的左、右极限都存在,
则称X0是f (x)的第一类间断点
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
(2)第二类间断点
常见的第二类间断点有无
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点 穷间断点和振荡间断点。

在闭区间［a,b］上连续的函数f (x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都 要用至V。
定理1.(有界定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b］上连续，则f (x)必在［a,b］上有 界。
定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b］上连续，则在这个 区间上一定存在最大值M和最小值m。
定理3.(介值定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b］上连续，且其最大值和最小值 分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数c,在［a,b］上至少存在一个
E，使得 f ( E ) = c
推论：如果函数f (x)在闭区间［a,b］上连续，且f (a)与f (b)异号，则在(a,b)
内至少存在一个点E ，使得f (E) = 0这个推论也称为零点定理
第二章导数与微分
1. 复合函数运算法则
设y = f (u)，u =? (x)，如果？(x)在x处可导，f (u)在对应点u处可导，则复合 函数y = f ［? ( x)］在x处可导，且有 dy ^y-du f'( (x)) '(x)
dx du dx
对应地dy f'(u)du f'( (x)) '(x)dx，由于公式dy f'(u)du不管u是自变量或中
间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。
2. 由参数方程确定函数的运算法则
设x =? (t)， y = (t)确定函数 y = y(x) ，其中'(t), '(t)存在，且 '(t)工0,则 dy _Kt)
dx '(t)
二阶导数
''(t) '(t) '(t) ''(t)
'(t)A3
d2y 痘 d[dx] dt
2
dx dx dt dx
3. 反函数求导法则
设y = f (x)的反函数x = g(y)，两者皆可导，且f ' (x)工0
则 g'(y)
1
f'(x)
f'(g(y))
(f'(x)
0)
4隐函数运算法则(可以按照复合函数理解)
设y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所确定，求y'的方法如下：
把F(x, y) = 0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计
算，然后再解出y'的表达式(允许出现y变量)
5对数求导法则 (指数类型 如y xsinx )
先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数 y'。
对数求导法主要用于：①幕指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数 (注意
定义域P106例6)
这样就可以直接用
关于幕指函数y = ［ f (x)］ g (x)常用的一种方法，y = eg(x)ln f(x) 复合函数运算法则进行。
6可微与可导的关系
f （x）在X。处可微？ f （x）在X。处可导
7求n阶导数（n >2,正整数）
先求出y' , y'',……，总结出规律性，然后写出y（n）,最后用归