北京市顺义牛栏山第一中学2020届高三数学上学期期中试题.docx

北京市顺义牛栏山第一中学 2020 届高三数学上学期期中试题
本试卷共 2 页， 150
分. 考试时长 120
分钟 . 考生务必将答案答在答题卡上 .
一、选择题：本大题共
8小题,每小题 5分,共 4
C
点分别为 F1 ， F2 ，以 F2 为圆心， a 为半径的圆与双曲线的渐近线相切，
A
B
则双曲线的渐近线方程为
_______.
12.
右图是以 C 为圆心一个圆，其中弦
AB的长 2
，则 AC AB =_______.
13.
里氏震级 M 的计算公式为 : M
lg A
lg A0 , 其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振
幅 , A0 是相应的标准地震的振幅 , 假设在一次地震中 , 测震仪记录的最大振幅是
1000,
此时标准
地震的振幅为 , 则此次地震的震级为
__________级 ; 9 级地震的最大振幅是 5
级地震最
大振幅的 __________ 倍 .
14. 已知 f ( x) | x
1 a 1| （ x 1， a
0 ）， f (x) 与 x 轴交点为 A ，若对于 f ( x) 图像
x
1
上任意一点 P ，在其图像上总存在另一点
Q（P，Q异于 A），满足 AP
AQ ，且
| AP | | AQ |，则 a
________.
三、解答题：（本大题共 6 个题，共计 80 分 . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
15. (13 分 ) 在△ ABC中， a2 c2 b 2 ac ．
（Ⅰ）求∠ B 的大小；
（Ⅱ）若 a c
6 ，△ ABC的面积为 2
3 ，求 b .
P
E
16.(13 分 ) 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD ，
A D
PA AB BC
2 3
,
AC
CD， ABC 60°
PC
的中点．
, E 是
C
（Ⅰ）证明 CD
AE ；
B
- 2 -
（Ⅱ）若 AB AD，
i ）求直线 PC 与平面 AEB 所成角的正弦值；
ii ）设平面 AEB 与侧棱 PD 交于 F ，求 PF .
FD
17. (13 分 ) 设 { an } 是公比大于 1 的等比数列， Sn 为数列 { an } 的前 n 项和．已知 S3 7 ，且
a1 3，3a2， a3 4 构成等差数列．
（Ⅰ）求数列 { an } 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {ln
a2 n 1} 的前 n 项和 Tn ．
x2
y2
1 a b 0 的下顶点，椭圆长半轴的长等于椭圆的短轴长，
18.(14 分)设 A为椭圆 E: 2
2
a
b
且椭圆 E 经过点 (1,
3
) .
2
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点 A 的直线与直线 y
2 交于点 M ，与椭圆交于 B ，点 B 关于原点的对称点为
C ，
直线 AC 交直线 y
2 交于点
N ，求 | MN |的最小值 .
19. (14 分 ) 已知函数 f ( x)
x2
8x, g ( x) 6ln x m.
（Ⅰ）若曲线 y
f ( x) 与曲线 y
g( x) 在它们的公共点处且有公共切线，求
m 的值；
（Ⅱ）若存在实数
n 使不等式 f ( x) g ( x) 的解集为 (0, n) ，求实数 m 的取值范围 .
20. (13 分 ) 对于正整数集合 A = { a1, a2 , , an} （ n N ， n 3 ），如果任意去掉其中一个
元素 ai （ i = 1,2, , n ）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，
且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合 A 为