积分因子的求法及简单应用[1].doc

积分因子的求法及简单应用[1]
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观察法
对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子
如:
⑴ 有积分因子
⑵ 有积分因子，，，，
例1 找出部分的积分因子
需满足
令，
则
所以 ，得到
故 原微分方程的积分因子为.
4. 积分因子的简单应用
利用积分因子可解线性微分方程
例4 求解方程.
解 由于，，所以原方程不是恰当微分方程
因为只与y有关，故方程有只与y有关的积分因子
以乘方程两边得到
因而 原方程的通解为.
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利用积分因子理论对初等数学中的一类重要公式进行证明
引理2 如果，是某个全微分方程的两个通解，则有，其中是一个确定的函数.
对数公式的证明
对数公式 ， ⑵
为证明公式⑵，须求解微分方程
⑶
应用分离变量法可得方程的一个通解为
另一方面，易见方程有积分因子，
以乘以原方程的两端，得全微分方程
得到另一个通解
由于方程有两种形式的通解，根据引理2，则有
⑷
其中是某个确定的函数，令，
有
故有 ⑸
由⑷和⑸可得
综上 公式得证.
指数公式的证明
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指数公式 ， ⑹
为证明公式⑹，须求解微分方程⑶
首先由分离变量法得方程⑶的通解为
⑺
其次，易见方程⑶有积分因子
以乘以方程两端，得全微分方程
即
得到另一个通解
⑻
于是方程⑶有两种形式的通解⑺和⑻
根据引理2，则有
⑼
其中是某一确定的函数，令
有
得
故有 ⑽
由⑼和⑽可得
综上 公式得证.
参考文献：
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[1] 王高雄,周之铭,,2006
[2] ,3(2)
[3] ,3(1)
[4] ,10
[5] 崔伟业,,8(3)
Integral Factor of Sapce and simple Application
Science of Mathematics College
Abstract: Integral factor is ordinary differential equation of a very basic but also very important concept , Based on the introduction of an appropriate differential equation and the concept of integral factor and the basis of related theorem , Summarizes the solving differential equations several methods of integral factor , And use of integral factor elementary mathematics is theoretically proved the logarithmic formula and index system of formula , Provides a new way of solving the middle school mathematics problems
11
, Embodies the