三角函数倍角公式.doc

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泛，“降次”、负号的选取，、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，, cos
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α, tanα，即:
　　，，这组公式叫做“万能”公式.
　　教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.
　　例1．推导三倍角的正弦、余弦公式
　　解:sin3α=sin(2α+α)
　　
　　cos3α=cos(2α+α)
　　
　　例2．利用三倍角公式推导sin18°的值.
　　解:∵ sin36°=cos54°,∴ 2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°
　　∵ cos18°≠0　　 ∴ 2sin18°=4cos218°-3　 ∴ 2sin18°=4-4sin
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218°-3
　　∴ 4sin218°+2sin18°-1=0
　　∴ . 本题还可根据二倍角公式推出cos36°.
　　即.
　　例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°
　　解:(1) csc10°-sec10°
　　
　　(2) tan20°+cot20°-2sec50°
　　
　　
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例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°
　　解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°
　　
　　例5．已知:.求: cos4θ+sin4θ的值.
　　解:∵,
　　∴ , 即，
　　即 ，∴ cos4θ+sin4θ
　　
　　例6．求cos36°·cos72°的值.
　　解:cos36°·cos72°
　　
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　　例7．求:的值.
　　解:
　　
　　上述两题求解方法一致，，要满足（1）余弦相乘，（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）.
　　例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求.
　　方法一:
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∵2cosθ=1+sinθ，∴
　　∴ 或，∴ ,
　　∴ ,∴ 或 =2.
　　方法二:∵ 2cosθ=1+sinθ， ∴ ,　
　　∴ ,
　　∴ 或 ,∴ 或 =2.
　　例9．已知:，求:tanα的值.
　　解:∵，∴ ，
　　∵ 0≤α≤π,　　 ∴ ,∴
　　(1)当
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时,　 ，
　　则有,∴， ∴ ， ∴ ，
　　∴ .
　　(2)当，则有 ，
　　∴ ，　　 ∴，∴.
　　注意:1与sinα在一起时，1往往被看作，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.
　　例10．已知:sinθ, sinα