异面直线典型例题.docx

典型例题一
A,则a , c的位置关系是（
).
A.
异面直线

.相交直线或异面直线
分析：判断两条直线的位置关系,
可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确
结论.
解：如图所示，在知，得 SAB^ CAB.
. SF CF , E是SC的中点，
EF SC.
同理可证EF AB
•• EF是SC、AB的公垂线段.
,_. _31
在 Rt SEF 中，SF —a , SE 1a. 22
•• EF . SF2 SE2
1 2
-a
(2)取AC的中点G ,连结EG ,则EG//SA.
EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线
EF和SA所成的角.
连结 FG ,在 EFG 中，EG -a, GF 1a, EF —a . 2 2 2
由余弦定理，得
cos GEF
EG2 EF2 GF2
2 EG EF
1 2 2 2 1 2
— a a - a
4 4 4
o 1 2
2 a a
2 2
2
"2"
GEF 45 .
故异面直线EF和SA所成的角为45 .
同时要将转化过程简要地写出
说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决, 来，然后再求值.
典型例题六
例6如图所示，两个三角形 ABC和 A‘B‘C’的对应顶点的连线 AA'、BB'、CC'交
AO
-'-
AO
BO CO 2
—―_ ' _—
BO CO 3
(1)证明：AB〃AB, AC//AC, BC//BC;
(2)求S ABC的值. S a'b'c'
分析：，由
于三角形是平面图形，故也可用平面几何的方法证明.
••• AA 与 BB
BO
B'O '
证明：⑴当ABC和ABC在O点两侧时，如图甲
一 AO
相交于O点，且——
AO
AB // A B (因为 AA、BB 共面).
i i i_ i
AB和AB , AC和AC的万向相反
ABC .
同理 AC 〃 AC , BC // BC .
(2) ••• AB // A B ,且 AC//AC
BAC BAC ,同理 ABC
因此，ABCs ABC .
v abc
‘^''- ii
ABAO3S』
当 ABC和 ABC在O点的同侧时，如图乙所示，同理可得⑴(2).
说明：此题 ABC与a'bC'是否共面并不重要，因为等角定理对各种位置已作说明.
典型例题七
例7 S是矩形ABCD所在平面外一点，SA BC , SB CD, SA与CD成60角,
SD与BC成30角，SA a,求：
(1)直线SA与CD的距离；
(2)求直线SB与AD的距离.
分析：要求出SA与CD、SB与AD的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的
长度即为异面直线间的距离.
解：如图所示，在矩形 ABCD中，BC〃AD.
. SA BC , SA AD .
又CD AD ,AD是异面直线SA、CD的公垂线段,
其长度为异面直线 SA、CD的距离.
在Rt SAD中，.「 SDA是SD与BC所成的角，
SDA 30 .又 SA a, .. AD 屈a .
（2）在矩形 ABCD 中，AB//CD , SB AD,
SB AB ,又 AB AD ,
・•.AB是直线SB、AD的公垂线段，其长度为异面直线 SB、AD的距离.
在Rt SAB中， SAB是异面直线SA与CD所成的角，.二 SAB 60 . a
又 SA a, AB acos60 —, 2
・•・直线SB与AD的距离为 2
说明：（1）求异面直线之间距离的步骤是：①找（作）线段；②证线段是公垂线段；③ 求公垂线段的长度.
（2）求异面直线间的距离的问题，高考中一般会给出公垂线段.
典型例题八
例8 a、b、c是三条直线，若a与b异面，b与c异面，判断a与c的位置关系，并 画图说明.
分析：这是一道考查异面直线概念及空间直线位置关系的问题，同时也考查了图形语言
的表达能力.
解：直线a与c的位置关系有以下三种情形如图：
・，・直线a与c的位置关系可能平行（图中的 （1））；可能相交（如图中的（2））；
可能异面（图中的（3））.
说明：本题也考查了空间想象能力和逻辑划分、分类讨论的能力.
典型例题九
例9如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的十二条棱中，共有几对异面直
线（）.
A 12 对B. 24 对C. 36 对D. 48 对
分析：一般地，立体几何中的计数问题，是由所数的量的性质，确定一