概率论与数理统计公式集锦.doc

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③条件概率密度
，
3、随机变量的独立性
随机变量X、Y相互独立，
离散型： ，连续型：
4、二维随机变量和函数的分布
离散型：
连续型：
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
①定义：离散型，连续型
②性质：，，
，当X、Y相互独立时：
2、方差
①定义：
②性质：，，
当X、Y相互独立时：
3、协方差与相关系数
①协方差：，当X、Y相互独立时：
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②相关系数： ，当X、Y相互独立时：(X,Y不相关)
③协方差和相关系数的性质：，
，
4、常见随机变量分布的数学期望和方差
分布
数学期望
方差
0-1分布
p
p(1-p)
二项分布
np
np(1-p)
泊松分布
均匀分布
正态分布
指数分布
五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若对于任意有
2、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若相互独立，
且，则：
②伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则，有：
③辛钦大数定律：若独立同分布，且，则
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3、中心极限定理
①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量，均值为，方差为，当n充分大时有：
②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量，则对任意x有：
③近似计算：
六、数理统计的基本概念
1、总体和样本的分布函数
设总体，则样本的联合分布函数
2、统计量
样本均值：，样本方差：
样本标准差： ，样本阶原点距：
样本阶中心距：
3、三大抽样分布
(1)分布：设随机变量且相互独立，则称统计量服从自由度为的分布，记为
性质：①②设且相互独立，则
(2)分布：设随机变量，且X与Y独立，则称统计
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量：服从自由度为的分布，记为
性质：①②
(3)分布：设随机变量，且与独立，则称统计量服从第一自由度为m，第二自由度为n的分布，记为，性质：设，则
七、参数估计

①定义：用估计总体参数，称为的估计量，相应的为总体的估计值。
②当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值
：
基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩
求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数，它的前k阶原点
矩中包含了未知参数，
即；又设为总体X的n个样本值，用样本矩代替，在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数的矩估计量。
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注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。

设取自的样本，设或， 求法步骤：
①似然函数：
②取对数： 或
③解方程：，解得：

估计量的评价标准
无偏性
设为未知参数的估计量。若E(）=，则称 为的无偏估计量。
有效性
设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。
一致性
设是的一串估计量，如，有则称为的一致估计量（或相合估计量）。
5. 单正态总体参数的置信区间
条件
估计
参数
枢轴量
枢轴量
分布
置信水平为的置信区间
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已知
未知
已知
未知
八、假设检验