极限计算方法总结.docx

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极限计算方法总结(简洁版)
一、极限定义、运算法则和一些结果
：(各种类型的极限的严格(x)
lim丝)=lim旦。x-,x0g(x)x—xog1(x)定理5假设当自变量X趋近丁某一定值(或无穷大)
时,
函数f(x)和g(x)满足：(1)f(x)
和g(x)的极限都是
0或都是无穷大;
洛比达法则f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；f(x)lim存在(或是无穷大)；g(x)则极限lim里也一定存在，且等于limlM,即Hm也=lim空。g(x)g(x)g(x)g(x)
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比O达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“Y”型或“一”型；条件0
(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x°是函数f(x)的定义去间内的一点,则有limf(x)=f(x0)。
xto

定理7(准则1)单调有界数列必有极限。
定理8(准则2)已知{xn},{yn},{Zn}为三个数列，且满足:
(1)yn£xn£Zn,(n=1,2,3,)(2)limyn=a,limz^a
nn则极限limxn一定存在，且极限值也是a,即limxn=a。
n)二nj.
二、求极限方法举例
，再利用极限运算法则求极限
例1limx「1x-1
-…,(、・3x1)2-22,3x-33
解：原式=limlim——=-x塑-1)(612)x:1(x-1)(\3x12)4
注：本题也可以用洛比达法则。
例2limn(-1)
n＞：：
、n[(n2)-(n-1)]
解：原式=lim一
n—‘‘-n2,n-1
分子分母同除以
o
(-1)n3n
例3nmf-
上下同除以3n（-；）1
解：原式=lim=1。
f（Z）n1
3
2. 利用函数的连续性（定理6）求极限
1
2_x
例4limxe
x>2
1
2二
解：因为X。=2是函数f（x）=xex的一个连续点,
1
所以原式=22e2=4Je。
3. 利用两个重要极限求极限
1-cosx例5lim2—
X)。3x2
解:
2x2sin2—
2
3x2
2x
2sin2一
2
-limX*x2
12(芬)
注：本题也可以用洛比达法则。
2
例6lim(1-3sinx)x
0
1
解：原式二州1—3，"）^
-6sinx
1-6sinx
=lim[(1-3sinx)°sinx]x=e~6x)0
例7lim_（LN）ni'）n1々n1-3n々n1~3n
解：原式=lim.（V己）；萨=加［（1己）二］n1=/。
•一1例8limxsin一X>°x
解：原式=0（定理2的结果）。
（定理4）求极限解: