求数列通项公式的十种方法.docx

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求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)
总述：：
累加法、累乘法、待定系数法、阶差a1Ja1-n
评注：本题是关于an和an1的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到篮与an1的更为明显的关系式，从而求出an.
,a11,求数列伽｝的通项公式.
答案：an(n1)!(ai1)-1.
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an1nann1,转化为an11n(an1)，若令bn为1,则问题进一步转化为bn1nbn形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于an1qanf(n)
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

cand,(c。苴中a〔
a)型
若c=1时，数列｛an｝为等差数列；
若d=0时，数列｛an｝为等比数列；
若c1且d0时，数列｛an｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：设an1C(an),
得an1can(c1)，与题设an1cand,比较系数得(c1)d，所以0)
所以有:
an土c(an
汽)
因此数列
c1为首项，以c为公比的等比数列,
dana〔
一1构成以
所以(ai
d、n1)cc1即:
an(a1
d、n1d
)c——1c1规律:
将递推关系an1cand化为an1c(an白…为c的心
rd｛anc1｝从而求得通项公式dan1-—1c1(a1逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系an1
cand中把n换成n-1有ancan1d两式相减有an1anc（anan1）从而化为公比为c的等比数列｛an1an｝,进而求得通项公式.
an1翥c（a2a1）,再利用类型（1）｛an｝中，a11,an2an11(n2），求数列an的通项公式。
解法一：van2an11(n2),an12(an11)又12,an1是首项为2,公比为2的等比数列即an2n1解法二：'/an2an11(n2),an12an两式相减得an1an2(anan1)(n2），故数列an1an是首项为2,公比为2的等比数列，｛an｝中,12,an1-an22求通项an。
答案:
an
：剑1P&q（其中q是常数，且n0,1）①若p=1时，即：an1an②若P1时，即：an1Pnanq求通项方法有以下三种方向:
：pq
p（q）n,令bn亍
bn1bn,则
1（P）nPq，然后类型1,累加求通项.
。
即:
an1n1qbn令annq，则可化为bn1—,：目的是把所求数列构造成等差数列n1
设an1qp(an
n\p）.通过比较系数，求出,转化为等比数列求通项注意：应用待定系数法时，要求pq,否则待定系数法会失效。
例7已知数列｛篮｝满足an1n12an43'a11,求数列篮的通项公式。
解法一（待定系数法）13n2(an3n1)比较系数得14，22,43n则数列&3
是首项为％4311的等比数列,n1所以an43
52n1即an43n152n1解法二（两边同除以两边同时除以
3n1得:
an3n14_72一一.…」3,下面解法略解法三（两边同除以n1
p):
两边同时除以
2n1得:
an
2n
-（-）n32,下面解法略
练习.（2003天津理）设a。
为常数an3n12an1(nN)
证明对任意
1nan[35(1)n12n](1)nn
a。
（其中k,b是常数，且k0)方法1:
逐项相减法（阶差法）方法2:
待定系数法通过凑配可转化为(anxn
y)p(an1x(n1)
y).
;解题基本步骤:
1、确定f(n)=kn+b2、设等比数列bn(anxn
y），公比为p3、列出关系式（色xny)p(an1x(n1)y)即bnpbn14、比较系数求x,y5、解得数列（anxny）的通项公式6、解得数列*的通项公式在数列｛an｝中,a〔1,an13篮2n,求通项翥.（逐项相减法）
解:
an13an2n,
2时，an3an2(n1)两式相减得an1an3(anan1),则如电12
利用类型5的方