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排列的综合应用
探究点1无限制条件的排列问题
例叵(1)利用1, 2, 3, 4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
(2)有5本不同的书，从中选 3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【解】(1)本题实 504种站法.
法二：以元素甲分类可分为两类：，，而乙不在
右端有a4 , a4 , a4种，故共有 A5+ a4 , a4 , A4= 504种站法.
“在”与“不在”问题的解决方法
"在"与“不在卡
间散的解决方把
J间
兀素分析法以元索为】，优 7先号丁特殊元默 以心青为主，优 位置分析£先考虑将殊位皆
.若解题忖仆泰太雷，川“灯接
竺眇，法”麻曲，往往采用“间接法”
.记者要为5名志愿者和他们帮助的 2位老人拍照，要求排成一排，2位老人不排在两端, 不同的排法共有（）
A. 2 400 种B. 3 600 种
C. 4 800 种D. 7 200 种
解析：：
第一步，排两端，从 5名志愿者中选2名全排有A2=20（种）排法；
第二步，剩余3名志愿者与2位老人全排列有A5= 120（种）排法.
根据分步乘法计数原理，共有20 X 120= 2 400（种）排法.
.用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数?
（1）六位数且是奇数；
（2）个位上的数字不是 5的六位数.
解：（1）法一：从特殊位置入手（直接法广
第一步：排个位，从1, 3, 5三个数字中选1个，有A3种排法；
第二步：排十万位，有 A1种排法；
第三步：排其他位，有 A4种排法.
故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有a3a4a4= 288（个）.
法二：从特殊元素入手（直接法）：
0不在两端，有 a4种排法；
从1, 3, 5中任选一个排在个位上，有A3种排法；
其他数字全排列有 A4种排法.
故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有a4a3a4= 288（个）.
法三：（排除法）
①从整体上排除：6个数字的全排列数为 A6, 0, 2, 4在个位上的排列数为 3A5,而1, 3, 5
在个位上，0在十万位上的排列数为3A4,故符合题意的六位数奇数共有A6-3A5-3A4 = 288（个） ．
②从局部上排除： 1 在个位上的排列有A55 个，其中0 在十万位上的排列有A44 个，故1 在个位
上的六位奇数有（a5-a4）个，同理，3, 5在个位上的六位奇数也各有（a5—a4）个，因此符合
题意的六位奇数共有 3（a5-a4） =288（个）.
法一： （ 排除法 ）
6个数字的全排列有 A6个，0在十万位上的排列有 A5个，5在个位上的排列有 总个，0在十万 位上且5在个位上的排列有 A4个，
故符合题意的六位数共有A6— A5-（A5-A4） = 504（个）.
法二： （ 直接法 ）
个位上不排5,，因
此，需分两类：
第一类，当个位上排 0时，有A5种排法；
第二类，当个位上不排0时，有A1 ・ A1 • A4种排法.
故符合题意的六位数共有A5+A4 - A1 - A4=