离散数学学习体会.pdf

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我的离散数学学习心得 (1) -- 一类抽 c 本身也是 1-ba 的逆元。因为假如是这样的话，(1-ab)和(1-bc)就都是 c 的逆元，
由逆元的唯一性可知，1-ab=1-ba，利用消去律，我们可以得到 ab=ba。这就说，在这个环里，只要 1-ab
有逆元，a 和 b 就是可换的。这个符合“含幺环 R”的一般情况吗？显然不符合。比如，由所有实矩阵对矩
阵加法和矩阵乘法组成的环，它是含幺环。但只要|a|·|b|≠1，1-ab 就可逆，但这样的矩阵都可换吗？
显然不是的。这就说明，即使 1-ab 的逆元 c 存在，1-ba 的逆元（如果存在的话）也未必是 c。
3、我们前面看到，在这道题中，c 的存在性是 1-ba 可逆的一个不可缺少的条件，但 c 本身并不一定
就是 1-ba 的逆元（仅当 ab=ba 时，c 是 1-ba 的逆元）。那么，1-ba 的逆元应该是一个与 c 有某种关系的
元素。

根据这些线索，我们来寻找 1-ba 的乘法逆元（不妨先寻找左逆元）。

前面已经提到，cab=abc=c-1 应该是解题的一个关键。那么，如果要使用它，就得用一个式子（不妨
记为 X）与(1-ba)相乘，使得它们的乘积中出现包含 cab 或者 abc 的项。
因为 X(1-ba) = X - Xba。我们很容易看出，如果 X 中有以 ca 结尾的项（不妨记作 Yca），那么就可
以得到 Ycaba 这样的项，而这个项可以换成 Yabca 或 Y(c-1)a。这些式子也许有助于我们消掉那些不需
要的项。
这样，我们不妨设 X = (Yca + Z)，其中 Y 和 Z 分别是两个式子（注意到，这样的假设是具有一般性
的，任何含有以 ca 结尾的项的式子都能写成 Yca+Z 的样子）。
看看这样乘出来的式子是什么样的：
X(1-ba) = (Yca + Z)(1 - ba)
= Yca + Z - Ycaba - Zba
= Yca + Z - Y(c-1)a - Zba
= Yca + Z - Yca + Ya - Zba
= Z - Zba + Ya
好了，现在我们得到一个当 X = (Yca + Z) 时，乘积的一般形式，如果能给 Y 和 Z 适当的值，使得 Z
- Zba + Ya = 1，那么相应的 X 就是我们要找的逆元了。
我们发现，要想把 Zba 消掉，Ya 就应该也以 ba 结尾。看到这里，结果已经很明显了，令 Y=b，Z=1，
则 Z - Zba + Ya = 1 - ba + ba = 1。
这就是说，我们已经发现，当 X = (bca + 1) 时，X(1-ba)=1。这样的 X 就是 1-ba 的左逆元了。
证明 X 是右逆元的工作是简单的，和前面这段推导一样，只需利用等式 abc = c-1 就可以了。

写在答题纸上的证明只不过是后面那小小的一段：
(bca+1)(1-ba) = bca+1-bcaba-ba
= bca+1-b(c-1)a-ba
= bca+1-bca