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函数的对称性82629
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函 数 的 对 称 性
知识梳理
一、对称性的观点及常有函数的对称性
1、对称性的观点
①，相邻对称轴或中心的距离为
2 b
a ；且函数
f ( x) 为周期函数，周期 T 4 b a 。
特别地：若 y
f ( x) 是奇函数，其图像又对于直线
x
a 对称，则 f (x) 是周期为 4 a 的周期函数。
典例精讲
对于直线对称
例
1. （ ★★）已知二次函数
f
x
ax
bx a
0)知足条件
f (5 x)
f ( x 3)
且方程
f ( x)
x
有等根，则
f (x)
( )
2
(
＝
．
例 2.（★★） 已知函数
f ( x) 对一确实数
x 知足条件 f (1 x)
f (3
x) ，已知 x
2 时， f ( x)
x 2
x ，
求 x
2 时 f ( x) 的分析式 .
稳固练习 （自对称）
1. （ ★★ ） 已 知 函 数 f ( x) 定 义 域 为 R ， 且 对 于 任 意 实 数 x 满 足 f ( x 2 )
f ( 6 x ，)
当 0
x 2 时 ，
2
x 3
5，则 f (1) f (3)
.
f ( x) x 2 x
2. （★★） 设 f ( x) 是定义在
R 上以 6 为周期的函数，
f ( x) 在 (0,3)
内单一递减，
且 y
f ( x) 的图像对于直线
x 3
对称，则下边正确的结论是
（
）
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3.（ ★★）设函数
f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 它的图象对于直线 x
2 对称，已知 x
2, 2 时， f ( x)
x2
1，
求 x
6, 2
时， f ( x) 的分析式 .
例 3.
（★★） 已知函数 y ex 的图象与函数 y
f x 的图象对于直线
y x 对称，则
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A．
C．

f
2x
e2x (x
R)
B
．
f (2x)
ln 2
ln x(x
0)
f
2
x
2
x (
x
)
D
．
f
2x
ln x
ln 2( x
0)
e
R
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例 4. （★★） 已知函数 f ( x)
x2
x