排列组合常见类型与解法.docx

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排列组合的常见题型及其解法
排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的依次有关。困难的排列、组合问题往往是对元素或位置进展限制，因此驾驭一些根本的排列、组合问题的类型与解法对学好这局部学问细心整理
排列组合的常见题型及其解法
排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的依次有关。困难的排列、组合问题往往是对元素或位置进展限制，因此驾驭一些根本的排列、组合问题的类型与解法对学好这局部学问很重要。
一. 特殊元素〔位置〕用优先法
把有限制条件的元素〔位置〕称为特殊元素〔位置〕，对于这类问题一般接受特殊元素〔位置〕优先支配的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
分析：解有限制条件的元素〔位置〕这类问题常接受特殊元素〔位置〕优先支配的方法。
解法1：〔元素分析法〕因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；其次步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：＝480〔种〕
解法2：〔位置分析法〕因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；其次步再让剩余的4个人〔含甲〕站在中间4个位置，有种，故站法共有：〔种〕
二. 相邻问题用捆绑法
对于要求某几个元素必需排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进展排列，然后相邻元素内部再进展排列。
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必需排在一起，有多少种不同排法？
解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进展排列，共有种，然后女生内部再进展排列，有种，所以排法共有：〔种〕。
三. 相离问题用插空法
元素相离〔即不相邻〕问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
解：先将其余4人排成一排，有种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有种，所以排法共有：〔种〕
四. 定序问题用除法
对于在排列中，当某些元素次序必需时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进展全排列有
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种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序必需，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即假设n个元素排成一列，其中m个元素次序必需，那么有种排列方法。
例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？
解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字必需，所以所求的六位数有：
〔个〕
五. 分排问题用直排法
对于把几个元素分成假设干排的排列问题，假设没有其他特殊要求，可接受统一成一排的方法求解。
例5. 9个人坐成三排，第一排2人，其次排3人，第三排4人，那么不同的坐法共有多少种？
解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。
六. 困难问题用解除法
对于某些比拟困难的或抽象的排列问题，可以接受转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要留意做到