(完整版)高中导数经典知识点及例题讲解.docx

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§
变化率与导数

自学引导
通过实例分析，了解平均变化率的实际意义.
会求给定函数在某个区间上的平■均变化率课前热身
一，，，一、,△y
函数f(x)在区|h］［X1,
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，…，、一一，，一、，，一△s
分析由物体E动万程——与出位移变化量△s―>奇
解物体在t=1到t=1+△这段时间内的位移增量
'守s(1+△s(1)
=[(1+△)《+2(1+△>+3]-(12+2X1+3)
=(△)2+
物体在t=1到t=1+△这段时间内的平■均速度为
,2一
△sAt+4At
Tra!—=4+A"变式训练3一质点作匀速直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,该质点在[2,2+△t](△t>0)上的平均速度不大丁5,求At的取值范围.
解质点在[2,2+△t]上的平■均速度为
—s2+△t—s2v=
△t
[2+At2+1]—22+1
At
4At+△t
At
2
-=4+△t.
乂v<5,..4+△t<5.
..△t<1,乂△t>0,
•••At的取值范围为(0,1].
§

自学引导
经历由平■均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景.
了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数.
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掌握函数f(x)在某一点X0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点X0处的导数.
课前热身
.
设物体的运动方程为S=S(t)，如果一个物体在时刻to时位丁S(to),在时刻to+At这段时间内，物体的位置增量是△S=S(to+At)—S(to).那么位置增量AS与时间增量△t的比，就是这段时间内物体的即3=
Sto+At—Sto
At.
当这段时间很短，即△t很小时，这个平均速度就接近时刻to的速度.△t越小，G就越接近丁时刻to的速度，当^tT0时，这个平均速度的极限v=lim
△tTo
ASSto+At—Sto,,,
—=lim就是物体在时刻to的速度即为.
△t—o
.
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，xo€(a,b),当Ax无限趋近0时,比值孚=fxo*:—f从无限趋近丁一个常数A,这个常数A就是函数
△x△x
f(x)在点x=xo处的导数，记作f'(xo)或y
|x=
(xo)
=lim
△xto
¥——
答
案

fxo+Ax—
△x-o△X
名师讲解

求位移增量△S=S(t+At)—S(t)；
…—△S
求平均速度v=京；
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……△S
⑶求极限lim胡=hm
St+At—St
At
⑷若极限存在，则瞬时速度
△Sv=lirn.
△tT0
AtT0AtT0
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导数还可以如下定义
股地，函数y=f(x)在x=X0处的瞬时变化率是
fX0+△X—fX0
lim7
△x
△XT0
y.,、〜、，一，，，，、，
==f(x)在x=x°(x°)或y|x=
x
—,△yfX0+△x—fX0
X0,即f（X0）=lim—=lim；
'v1Ax△x
△xT0
△XT0
△XT0
对导数概念的理解
“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单
纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这
个概念的提出与其实际意义.
：
_△y,,_△y
①lim及存在，则称f(x)在x=X0处可导并且导数即为极限值；②lim—2
△X△X
△XT0△XT0
不存在，则称f(X)在x=X0处不可导.
△x称为自变量x的增量，△x可取正值也可取负值，但不可以为0.
令x=X0+△x,得△x=X-X0,丁是
fX—fX0
f'(X0)=lim与正义中的f'(X0)=lim
X-X0、'
XTX0AXT0
fX0+△X—fX0〜、rI
△X
=f(x)在点X。处的导数的步骤
⑴求函数的增量：△y=f(x°+△x)—f(X0)；
求平均变化率：