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等比数列的性质

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教学内容

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【知识结构】
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中
证：（1）（常数）∴该数列成等比数列
（2），即：
（3），∵，∴
∴且，
∴，（第项）
例5 设均为非零实数，，
求证：成等比数列且公比为
证一：关于的二次方程有实根，
∴，∴

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则必有：，即，∴成等比数列
设公比为，则，代入

∵，即，即
证二：∵
∴
∴，∴，且
∵非零，∴
例6．设为数列的前项和，，，其中是常数．
（1） 求及；
（2）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
解（1）当，
（）
经验，（）式成立，
（2）成等比数列，，
即，整理得：，
对任意的成立，
例7在等差数列｛an｝中，若a10＝0，则有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9＝1，则有等式 成立
答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）；
解：在等差数列｛an｝中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，

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所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n，
若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n，
相应地等比数列｛bn｝中，则可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。
【备选例题】
例8．如图3—1，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，（n∈N*），证明{an}是等比数列；
证明：记rn为圆On的半径，则r1=tan30°=。=sin30°=，所以rn=rn－1

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（n≥2），于是a1=πr12=，故{an}成等比数列。
点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。
例9已知数列和满足：a1=λ,an+1=其中λ为实数，n为正整数.
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.
解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使是等比数列，则有,即
.
(Ⅱ)解：因为又,所以
当λ＝－18， (∈N+),此时不是等比数列：当λ≠－18时，,由上可知，∴(∈N+).故当λ≠-18时，数列是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.
点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。
例10等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记 求数列的前项和
解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)

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,
当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以
（2）当b=2时，,
则

相减,得
所以
【巩固练习】
{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则= .
{an}中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为 1或- .
-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b= -3 ,ac= 9 .