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阿波罗尼斯圆问题
一【问题背景】
苏教版《数学必修 2》第12题：
1
已知点M (x,y)与两个定点O(0,0), A(3,0)的距离之比为—，那么点M的坐标应满足
2
什么关系画出满足条件的点M所构 CD,BC J2AD知，AD J2BD , D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为
(x 3)2 y2 8,设C(x,y), BC的中点为D得D(*,；1),所以点C的轨迹方程为 32 (y)2 8,即(x 5)2 y2 32 ,
SABC 22yly岳4日故S ABC的最大值是4工
例2在平面直角坐标系 xOy中，设点A(1,0), B(3,0), C(0, a), D(0,a 2),若存在点
P ,使得PA J2PB, PC PD ,则实数a的取值范围是 .
解：设 P(x,y),则 J(x 1)2 y2 & J(x 3)2 y2 ,
整理得(x 5)2 y2 8,即动点P在以(5,0)为圆心，2 J2为半径的圆上运动.
另一方面，由PC PD知动点P在线段CD的垂直平分线y a 1上运动，因而问
题就转化为直线 y a 1与圆(x 5)2 y2 8有交点，
所以a 1 272,故实数a的取值范围是[2J2 1,272 1].
例3在平面直角坐标系 xOy中，点A 0,3 ,直线l: y 2x ,
圆心在l上.
若圆C上存在点M ,使MA 2MO ,求圆心C的横坐标a的取值范围.
、一一一一、一22
解：设C a,2a4 ,则圆方程为xa y 2a 41
2222
又设 M(x0,y0),QMA 2MOx0 y0 3 4x04y0,即
2/ 2 ,
Xoy0 14
两个圆必有交点，即两圆相交或相切,
22
2 1 J a 0 2a 4 ( 1)2 1,
解得0 a
12『12
一，即a的取值范围是[0, —].
55
例4已知。O：x2 y2 1和点M (4,2)
(1)过点M向。O引切线l ,求直线l的方程;
(2)求以点M为圆心，且被直线
y 2x 1截得的弦长为4的。M的方程;
(3)设P为(2)中O M上任一点，过点 P向。。引切线，切点为 Q 试探究：平面内是
PQ
否存在一定点R,使得PQ为定值若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，
PR
请说明理由.
解：(1)设切线l方程为y 2 k(x 4),易得14k 2| 1 ,解得k 8 而,
k2 115
切线l方程为y 2 —~"^(x 4).
15
(2)圆心到直线y 2x 1的距离为 J5,设圆的半径为r,则r2 22 (<5)2 9
••.O M 的方程为(x 4)2 (y 2)29
(3)假设存在这样的点 R(a,b),点P的坐标为(x, y),相应的定值为，
根据题意可得PQ
x2 y2 1
.(x a)2 (y b)2
即 x2 y2 12(x2 y2 2ax 2by a2 b2)(*),
2222
又点P在圆上(x 4) (y 2)9,即x y 8x 4y 11,代入(*)式得:
8x 4y 122 (8 2a)x (4 2b)y (a2 b2 11)
2
2(8 2a) 8
若系数对应相等，则等式恒