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四大机器学习降维算法：PCA、LDA、LLE、Laplacian-Eigenmaps
机器学习领域中所谓的降维就是指采用某种映射方法，将原高维空间中的数据点映射到低维度的空间中。降维的本质是学习一个映射函数 f : x->y，其中也有叫做Fisher Linear Discriminant)是一种有监督的（supervised）线性降维算法。与PCA保持数据信息不同，LDA是为了使得降维后的数据点尽可能地容易被区分！
假设原始数据表示为X，（m*n矩阵，m是维度，n是sample的数量）
既然是线性的，那么就是希望找到映射向量a， 使得 a‘X后的数据点能够保持以下两种性质：
1、同类的数据点尽可能的接近（within class）
2、不同类的数据点尽可能的分开（between class）
所以呢还是上次PCA用的这张图，如果图中两堆点是两类的话，那么我们就希望他们能够投影到轴1去（PCA结果为轴2），这样在一维空间中也是很容易区分的。
接下来是推导，因为这里写公式很不方便，我就引用Deng Cai老师的一个ppt中的一小段图片了：
思路还是非常清楚的，目标函数就是最后一行J（a)，μ（一飘）就是映射后的中心用来评估类间距，s（一瓢）就是映射后的点与中心的距离之和用来评估类内距。J(a)正好就是从上述两个性质演化出来的。
因此两类情况下：
加上a’a=1的条件（类似于PCA）
可以拓展成多类：
以上公式推导可以具体参考pattern classification书中的相应章节，讲fisher discirminant的
OK，计算映射向量a就是求最大特征向量，也可以是前几个最大特征向量组成矩阵A=[a1,a2,….ak]之后，就可以对新来的点进行降维了：y = A’X（线性的一个好处就是计算方便！）
可以发现，LDA最后也是转化成为一个求矩阵特征向量的问题，和PCA很像，事实上很多其他的算法也是归结于这一类，一般称之为谱（spectral）方法。
线性降维算法我想最重要的就是PCA和LDA了，后面还会介绍一些非线性的方法。
局部线性嵌入（LLE）
Locally linear embedding（LLE）是一种非线性降维算法，它能够使降维后的数据较好地保持原有流形结构。LLE可以说是流形学习方法最经典的工作之一。很多后续的流形学习、降维方法都与LLE有密切联系。
见图1，使用LLE将三维数据（b）映射到二维（c）之后，映射后的数据仍能保持原有的数据流形（红色的点互相接近，蓝色的也互相接近），说明LLE有效地保持了数据原有的流行结构。
但是LLE在有些情况下也并不适用，如果数据分布在整个封闭的球面上，LLE则不能将它映射到二维空间，且不能保持原有的数据流形。那么我们在处理数据中，首先假设数据不是分布在闭合的球面或者椭球面上。
图1 LLE降维算法使用实例
LLE算法认为每一个数据点都可以由其近邻点的线性加权组合构造得到。算法的主要步骤分为三步：(1)寻找每个样本点的k个近邻点；（2）由每个样本点的近邻点计算出该样本点的局部重建权值矩阵；（3）由该样本点的局部重建权值
矩阵和其近邻点计算出该样本点的输出值。具体的算法流程如图2所示：
图 2 LLE算法步骤
Laplacian Eigenmaps 拉普拉斯特征映射
继续写一点经典的降维算法，前面介绍了PCA,LDA，LLE，这里讲一讲Laplacian Eigenmaps。其实不是说每一个算法都比前面的好，而是每一个算法都是从不同角度去看问题，因此解决问题的思路是不一样的。这些降维算法的思想都很简单，却在有些方面很有效。这些方法事实上是后面一些新的算法的思路来源。
Laplacian Eigenmaps[1] 看问题的角度和LLE有些相似，也是用局部的角度去构建数据之间的关系。
它的直观思想是希望相互间有关系的点（在图中相连的点）在降维后的空间中尽可能的靠近。Laplacian Eigenmaps可以反映出数据内在的流形结构。
使用时算法具体步骤为：
步骤1：构建图
使用某一种方法来将所有的点构建成一个图，例如使用KNN算法，将每个点最近的K个点连上边。K是一个预先设定的值。
步骤2：确定权重
确定点与点之间的权重大小，例如选用热核函数来确定，如果点i和点j相连，那么它们关系的权重设定为：
使用最小的m个非零特征值对应的特征向量作为降维后的结果输出。
前面提到过，Laplacian Eigenmap具有区分数据点的特性，可以从下面的例子看出：
见图1所示，左边的图表示有两类数据点（数据是图片），中间图表示采用Laplacian Eigenmap降维后每个数据