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北京清北学堂
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平面几何证明
主讲人：重庆市育才中学 瞿明强
【竞赛知识点拨】
线段或角相等的证明
利用全等△或相似多边形；
利用等腰△
【分析】设B为两圆的另一交点，连结并延长BA交P1P2于C，交O1O2于M，则C为P1P2的中点，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM为M1M2的中垂线。
在O1M上截取MO3=MO2，则∠M1AO3=∠M2AO2。
故只需证∠O1AM1=∠O3AM1，即证。

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由△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。
在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DE⊥AB于E，求证：AE=。
图4-2
图4
图4-1
【分析】方法1、2AE=AB-AC
← 在BE上截取EF=AE，只需证BF=AC，连结DC、DB、DF，从而只需证△DBF≌△DCA
← DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC
←∠DFA=∠DAF=∠DAG。
方法2、延长CA至G，使AG=AE，则只需证BE=CG
← 连结DG、DC、DB，则只需证△DBE≌△DCG
← DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠。
∠ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点K引∠ABC平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。
求证：线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。
图5
（2）
（1）
【分析】若角平分线过O，则P、M重合，PM=0，结论显然成立。
若角平分线不过O，则延长DO至D'，使OD'=OD，则只需证DD'=PM。连结D'P、DM，则只需证DMPD'为平行四边形。
过O作m⊥PK，则DD',KP，∴∠D'PK=∠DKP

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图5-1
BL平分∠ABC，MK⊥BL→BL为MK的中垂线→∠DKB=∠DMK
∴∠D'PK=∠DMK，∴D'P∥DM。而D' D∥PM，
∴DMPD'为平行四边形。
图6
图6-2
图6-1
在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。
【分析】方法1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。
倍长中线：延长AM至M'，使AM=MA'，连结BA'，如图6-1。
PQ∥AB←←←
←
∠A'BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ
方法2、结合角平分线和BH⊥AH联想对称知识。
延长BH交AC的延长线于B'，如图6-2。则H为BB'的中点，因为M为BC的中点，连结HM，则HM∥B/C。延长HM交AB于O，则O为AB的中点。延长MO至M'，使OM'=OM，连结M'A、M'B，则AM'BM是平行四边形，
∴MP∥AM'，QM∥BM'。于是，，所以PQ∥AB。