二重积分的计算方法.ppt

第二节 二重积分的计算法
计算二重积分的方法:
二重积分
累次积分(即两次定积分).
*
第一页，共二十八页。
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，
故二重积分可写为
D
则面积元素为
一、利用第二节 二重积分的计算法
计算二重积分的方法:
二重积分
累次积分(即两次定积分).
*
第一页，共二十八页。
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，
故二重积分可写为
D
则面积元素为
一、利用直角坐标系计算二重积分
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第二页，共二十八页。
(2)如果积分区域为：
其中函数 、 在区间 上连续.
［X－型］
*
第三页，共二十八页。
回忆：平行截面面积为已知的立体的体积
立体体积
此方法关键是求
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第四页，共二十八页。
计算截面面积
( 红色部分即A(x0) )
＊
以D为底,
以曲面
为顶的曲顶柱体的体积.
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.
用二重积分的几何意义说明其计算法:
是区间
为曲边的曲边梯形.
为底,
曲线
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第五页，共二十八页。
A(x0)
先对y后对x的二次积分(累次积分)
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第六页，共二十八页。
(2) 积分区域为：
先对x后对y的二次积分
也即
其中函数
在区间
上连续.
［Y－型］
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第七页，共二十八页。
-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分，使每部分是X-型区域或是Y-型区域.
注意：
-型区域也是Y-型区域时,可以用两个公式进行计算.
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
y
x
0
y
x
0
c
d
a
b
D
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第八页，共二十八页。
特殊地
即等于两个定积分的乘积.
D为矩形域:
则
则
a≤x≤b,c≤y≤d
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第九页，共二十八页。
二重积分是化为两次定积分来计算的，关键是确定积分限.
定限要注意的问题：
>下限.
，下限应为外层积分变量的函数.
，下限应为常数(后积先定限).
.
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第十页，共二十八页。
例 计算
其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域.
解法1：
先y后x
·
·
x
y
x
0
1
2
y=x
y=1
x=2
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第十一页，共二十八页。
解法2：
先x后y
y
x
0
1
2
y=x
x=2
·
·
y
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第十二页，共二十八页。
解
例 计算
(1,1)
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第十三页，共二十八页。
选取积分次序,
不仅要看区域的特点,
而且要看被积函数的特点.
凡遇如下形式积分:
等等,
一定要放在
后面积分.
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第十四页，共二十八页。
解
积分区域如图
例 改变积分
的次序.
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第十五页，共二十八页。
例
交换积分次序：
解
原式=
*
第十六页，共二十八页。
例
交换积分次序：
解
积分区域:
原式=
*
第十七页，共二十八页。
例 求证
左边的累次积分中,
提示
不能直接计算，
是y的抽象函数,
证毕.
要先交换积分次序.
证明
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第十八页，共二十八页。
例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为 及
解
求所围成的
立体的体积.
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第十九页，共二十八页。
解
曲面围成的立体如图.
例 求由下列曲面所围成的立体体积，
*
第二十页，共二十八页。
*
第二十一页，共二十八页。
例
解
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第二十二页，共二十八页。
补充轮换对称性结论:
若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则
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第二十三页，共二十八页。
证
所以,
例
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第二十四页，共二十八页。
二重积分在直角坐标下的计算公式
（在积分中要正确选择积分次序）
小结
［Y－型］
［X－型］
（1）化二重积分为二次积分；
（2）交换积分次序；
题型
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第二十五页，共二十八页。
作业
习题8-2(1)
(77页)
3.(1) (3)